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-~~DISCUSSION~~
 <WRAP tabs>
-abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc
+  * [[:sand box/intro]]
-abc
+  * [[:sand box/body]]
+  * [[:sand box/conc]]
 </WRAP>
-<WRAP tabs>
-ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd  ddd
+{{tabinclude>page1|Top page,page2|Second page,*page3}}
+<tabbed>
+  * page1|top page
+  * page2
+  * *page3
+</tabbed>
+[{{:r.regressionline3.png}}]
+\begin{align*}
+& \;\;\;\; \sum{(Y_i - \hat{Y_i})^2} \\
+&= \sum{(Y_i - (a + bX_i))^2}  \;\;\; \because \hat{Y_i} = a + bX_i \\
+&= \text{SSE or SS.residual} \;\;\; \text{(and this should be the least value.)} \\
+\end{align*}
+<WRAP box>
+\begin{align*}
+&\text{for a (constant)} \\ \\
+&\dfrac{\text{d}}{\text{dv}} \sum{(Y_i - (a + bX_i))^2} \\
+&=  \sum \dfrac{\text{d}}{\text{dv}} {(Y_i - (a + bX_i))^2} \\
+&= \sum{2 (Y_i - (a + bX_i))} * (-1) \;\;\;\; \\
+&\because \dfrac{\text{d}}{\text{dv for a}} (Y_i - (a+bX_i)) = -1 \\
+& = -2 \sum{(Y_i - (a + bX_i))} \\
+\\
+&\text{in order to have the least value, the above should be zero} \\
+\\
+&-2 \sum{(Y_i - (a + bX_i))} = 0 \\
+&\sum{(Y_i - (a + bX_i))} = 0 \\
+&\sum{Y_i} - \sum{a} - b \sum{X_i} = 0 \\
+&\sum{Y_i} - n*{a} - b \sum{X_i} = 0 \\
+&n*{a} = \sum{Y_i} - b \sum{X_i} \\
+&a = \dfrac{\sum{Y_i}}{n} - b \dfrac{\sum{X_i}}{n} \\
+&a = \overline{Y} - b \overline{X} \\
+\end{align*}
 </WRAP>
-<WRAP group>
+<WRAP box>
-<WRAP third column>a</WRAP>
+\begin{eqnarray*}
-<WRAP third column>a</WRAP>
+\text{for b, (coefficient)} \\
-<WRAP third column>a</WRAP>
+\\
-<WRAP third column>a</WRAP>
+\dfrac{\text{d}}{\text{dv}} \sum{(Y_i - (a + bX_i))^2}  & = & \sum \dfrac{\text{d}}{\text{dv}} {(Y_i - (a + bX_i))^2} \\
+& = & \sum{2 (Y_i - (a + bX_i))} * (-X_i) \;\;\;\; \\
+& \because & \dfrac{\text{d}}{\text{dv for b}} (Y_i - (a+bX_i)) = -X_i \\
+& = & -2 \sum{X_i (Y_i - (a + bX_i))} \\
+\\
+\text{in order to have the least value, the above should be zero} \\
+\\
+-2 \sum{X_i (Y_i - (a + bX_i))} & = & 0 \\
+\sum{X_i (Y_i - (a + bX_i))} & = & 0 \\
+\sum{X_i (Y_i - ((\overline{Y} - b \overline{X}) + bX_i))} & = & 0 \\
+\sum{X_i ((Y_i - \overline{Y}) - b (X_i - \overline{X})) } & = & 0 \\
+\sum{X_i (Y_i - \overline{Y})} - \sum{b X_i (X_i - \overline{X}) } & = & 0 \\
+\sum{X_i (Y_i - \overline{Y})} & = &  b \sum{X_i (X_i - \overline{X})} \\
+b & = & \dfrac{\sum{X_i (Y_i - \overline{Y})}}{\sum{X_i (X_i - \overline{X})}} \\
+b & = & \dfrac{\sum{(Y_i - \overline{Y})}}{\sum{(X_i - \overline{X})}} \\
+b & = & \dfrac{ \sum{(Y_i - \overline{Y})(X_i - \overline{X})} } {\sum{(X_i - \overline{X})(X_i - \overline{X})}} \\
+b & = & \dfrac{ \text{SP} } {\text{SS}_\text{x}} \\
+\end{eqnarray*}
 </WRAP>