Q. 어떤 자격증 시험의 합격율은 15%라고 한다. A학생이 이 자격증을 3번 이상 시험을 쳐서 따게 되는 확률은?
A. 3번 이상 시험을 쳐서 합격증을 따는 것은 3번째 응시에서 따게되는 경우, 4번째 응시에서, 5번째 응시에서, . . . . 자격증을 따게 되는 경우를 모두 포함하는 것이므로 한계가 없는 기하분포에서는 (geometric distribution) 구할 수가 없다. 그러나, 전체 확률을 1로 놓고 (100%) 그 중에서 첫번째 응시 성공, 두번째 응시 성공을 제외하면 (이 때 자격증을 따게 되면 3번까지 갈 필요가 없게 되므로), 3번 이상의 응시로 자격증을 따는 확률을 구하는 것이 된다. 따라서
$ 1 - (0.15 + 0.85 * 0.15) = 0.7225 $
그런데
위의 경우는 두번까지 실패할 확률과 같아야 한다.
$ 0.85 * 0.85 = 0.7225 $
Q2.1. 하나의 주사위를 던질 때 앞면의 숫자가 (1) 세 번 던져 세 번째 시행에서 6 이 나올 확률을 구하여라.
Q2.2. 위에서 세 번 던져 한번도 나오지 않을 확률을 구하여라.
> (5/6)*(5/6)*(1/6) [1] 0.1157407 # or > p <- 1/6 > q <- 1-p > r <- 3 > q^(r-1)*p [1] 0.1157407 >
> # dgeom(x = r-1, prob = p) > dgeom(r-1, p) [1] 0.1157407
> q^3 [1] 0.5787037
Q. 운전 면허시험에 합격할 확률은 0.25 라 한다. 합격 전 시험을 치는 지원자의 기대값과 분산을 구하여라.
Q. 길에서 타인에게 도움을 요청했을 때 도움을 실제 받을 확률은 0.4 라고 한다. 8번 요청했을 때 이 때까지 도움을 실제 받을 확률은?
A. 한번에 성공, 두번째에 성공, . . . . 8번째 성공을 모두 더하면 된다.
> p <- 0.6 > q <- 1-p > r <- 8 > s <- dgeom(x=0:(r-1),p = p) > s [1] 0.60000000 0.24000000 0.09600000 0.03840000 0.01536000 0.00614400 0.00245760 [8] 0.00098304 > sum(s) [1] 0.9993446 >
그런데 위의 누적확률을 구하는 펑션이 있다.
> # pgeom(q=r-1, p=p) > pgeom(r-1, p) [1] 0.9993446 >
그러면, 누적확률이 0.994일 때 필요한 시도횟수는 얼마일까? 아래는 최소한 6번은 (5+1, R에서의 5는 0에서 시작해서 1씩 증가해서 5에 도달하는 것을 의미한다. 따라서 6회이다) 시도해야 한다는 답을 얻은 것이다.
> qgeom(0.994, p) [1] 5 >
다른 예. 위에서 우리는 0.9993446은 r = 8일 때 (8번시도) 나오는 확률임을 알고 있다. 따라서, 답은 7+1. 만약에 0.9993446보다 큰 값을 갖을 경우는 9번이 필요하게 된다.
> qgeom(0.9993446, p) [1] 7 > > qgeom(0.9993447, p) [1] 8 >