• Central Tendency (집중경향)
• Dispersion (variability) – 분산(변산성)
• range
• outliers: It is beyond our scope. Please just refer to it. Won't be appearing in tests.
• Variance 분산 혹은 변량
  • 표본변량 $ s^2 $
  • 모집단변량(전집) $ \sigma^2 $
• Standard Deviation 표준편차
• Variance calculation formula
  • variance_calculation_formula $ \displaystyle S_x^2 = \displaystyle \frac {\Sigma X^2 - \frac{(\Sigma X)^2}{N} } {N-1} $
  • $ \displaystyle \sigma_x^2 = \displaystyle \frac {\Sigma X^2 - \frac{(\Sigma X)^2}{N} } {N} = \displaystyle \frac {\Sigma X^2}{N} - \frac {(\Sigma X)^2}{N^2} = \displaystyle \frac {\Sigma X^2}{N} - \bigg(\frac {\Sigma X}{N}\bigg)^2 = \displaystyle \frac {\Sigma X^2}{N} - \mu^2 $

• Degrees of Freedom N-1
  • Why n-1

• Sampling
• Sampling Distribution
• Central Limit Theorem
• Standard Error

우선, Expected value (기대값)와 Variance (분산)의 연산은 아래와 같이 계산될 수 있다.

X,Y 가 서로 독립적이라고 할 때:
\begin{eqnarray} E[aX] = a E[X] \\ E[X+Y] = E[X] + E[Y] \\ Var[aX] = a^{\tiny{2}} Var[X] \\ Var[X+Y] = Var[X] + Var[Y] \end{eqnarray}

이때, 한 샘플의 평균값을 $X$ 라고 하면, 평균들의 합인 $S_k$ 는

$$ S_{k} = X_1 + X_2 + . . . + X_k $$

와 같다.

이렇게 얻은 샘플들(k 개의)의 평균인 $ A_k $ 는,

$$ A_k = \displaystyle \frac{(X_1 + X_2 + . . . + X_k)}{k} = \frac{S_{k}}{k} $$

라고 할 수 있다.

이때,

$$ \begin{align*} E[S_k] & = E[X_1 + X_2 + . . . +X_k] \\ & = E[X_1] + E[X_2] + . . . + E[X_k] \\ & = \mu + \mu + . . . + \mu = k * \mu \\ \end{align*}
$$ $$
\begin{align*} Var[S_k] & = Var[X_1 + X_2 + . . . +X_k] \\ & = Var[X_1] + Var[X_2] + \dots + Var[X_k] \\ & = k * \sigma^2 \end{align*}
$$ 이다. 그렇다면, $ A_k $ 에 관한 기대값과 분산값은:

$$ \begin{align*} E[A_k] & = E[\frac{S_k}{k}] \\ & = \frac{1}{k}*E[S_k] \\ & = \frac{1}{k}*k*\mu = \mu \end{align*}
$$ 이고, $$
\begin{align*} Var[A_k] & = Var[\frac{S_k}{k}] \\ & = \frac{1}{k^2} Var[S_k] \\ & = \frac{1}{k^2}*k*\sigma^2 \\ & = \frac{\sigma^2}{k} \nonumber \end{align*}
$$

라고 할 수 있다.