t-test를 하는 상황 (2 sample independent t-test)

rm(list=ls())
# set.seed(101)
rnorm2 <- function(n,mean,sd){ mean+sd*scale(rnorm(n)) }
ss <- function(x) {
  sum((x-mean(x))^2)
}

n.o <- 200
n.p <- 200
o <- rnorm(n.o, 108, 10)
p <- rnorm(n.p, 110, 10)
t.test(o,p, var.equal=T)
comb <- list(o = o, p = p)
op <- stack(comb)
head(op)
colnames(op)[1] <- "values"
colnames(op)[2] <- "group"
op$group <- factor(op$group)
head(op)
boxplot(op$values~op$group)


plot(op$values~op$group)
boxplot(op$values~op$group, main="values by group",
        yaxt="n", xlab="value", horizontal=TRUE,
        col=terrain.colors(2))
abline(v=mean(op$values), col="red", lwd=3)
legend("topleft", inset=.05, title="group",
       c("o","p"), fill=terrain.colors(2), horiz=TRUE)

m.tot <- mean(op$values)
m.o <- mean(o)
m.p <- mean(p)

hist(o, breaks=20, 
     col=rgb(1,1,1,.5))
abline(v=m.o, col="green", lwd=3)
hist(p, add=T, breaks=20,
     col=rgb(.5,1,1,.5))
abline(v=m.p, col="red", lwd=3)
abline(v=m.tot, col='blue', lwd=3)

ss.tot <- ss(op$values)
df.tot <- length(op$values)-1
ss.tot/df.tot
var(op$values)
ss.tot

ss.o <- ss(o)
ss.p <- ss(p)
df.o <- length(o)-1
df.p <- length(p)-1

m.tot
m.o
m.p
ss.o
ss.p

ss.bet <- length(o)*(m.tot-m.o)^2+length(p)*(m.tot-m.p)^2
ss.tot
ss.bet
ss.wit <- ss.o+ss.p 
ss.wit
ss.bet+ss.wit
ss.tot

df.tot <- length(op$values)-1
df.bet <- nlevels(op$group) - 1
df.wit <- (length(o)-1)+(length(p)-1)
df.tot
df.bet
df.wit

ms.tot <- ss.tot / df.tot
ms.bet <- ss.bet / df.bet
ms.wit <- ss.wit / df.wit

f.cal <- ms.bet / ms.wit
f.cal
p.f.cal <- pf(f.cal, df1=df.bet, df2=df.wit, lower.tail = F)
p.f.cal
summary(aov(op$values~op$group))
t.test(o,p, var.equal = T)

diff <- m.o - m.p
ssp <- (ss.o + ss.p) / (df.o + df.p)
se <- sqrt(ssp/n.o+ssp/n.p)
t.cal <- diff/se
t.cal
p.t.cal <- pt(abs(t.cal), df=df.o+df.p, lower.tail = F)*2
p.t.cal
t.cal^2
f.cal

# 
# ANOVA test with 4 levels in IV 
#
rm(list=ls())
# set.seed(101)
rnorm2 <- function(n,mean,sd){ mean+sd*scale(rnorm(n)) }
ss <- function(x) {
  sum((x-mean(x))^2)
}

n <- 21
na <- nb <- nc <- nd <- n
mean.a <- 98
mean.b <- 100
mean.c <- 101
mean.d <- 105

A <- rnorm2(na, mean.a, sqrt(900/(na-1)))
B <- rnorm2(nb, mean.b, sqrt(900/(nb-1)))
C <- rnorm2(nc, mean.c, sqrt(900/(nc-1)))
D <- rnorm2(nd, mean.d, sqrt(900/(nd-1)))
ss(A)
var(A)

# A combined group with group A and B
# We call it group total
# we can obtain its mean, variance, ss, df, etc.
# 
comb <- data.frame(A, B, C, D)
dat <- stack(comb)
head(dat)
colnames(dat)[1] <- "values"
colnames(dat)[2] <- "group"
head(dat)

m.tot <- mean(dat$values)
m.a <- mean(A)
m.b <- mean(B)
m.c <- mean(C)
m.d <- mean(D)

# 그룹 간의 차이에서 나타나는 분산
# 수업시간에 설명을 잘 들을 것
min.x <- min(dat$values)
max.x <- max(dat$values)
br <- seq(floor(min.x), ceiling(max.x), by = 1) 
# Example bin width of 1

hist(A, breaks=br,
     xlim = c(min.x-5, max.x+5), col=rgb(1,1,1,0.5),
     main = "Histogram of 4 groups")
hist(B, breaks=br, add=T, col=rgb(1,1,0,.5))
hist(C, breaks=br, add=T, col=rgb(1,.5,1,.5))
hist(D, breaks=br, add=T, col=rgb(.5,1,1,.5))

abline(v = m.tot, lty=2, lwd=3, col="black") 
abline(v = m.a, lty=2, lwd=3, col="blue") 
abline(v = m.b, lty=2, lwd=3, col="green") 
abline(v = m.c, lty=2, lwd=3, col="red") 
abline(v = m.d, lty=2, lwd=3, col="purple")

# variance를 ms라고 부르기도 한다
var.tot <- var(dat$values)
ms.tot <- var.tot

ss.tot <- ss(dat$values)
# mean.total 에서 그룹a의 평균까지의 차이를 구한 후
# 이를 제곱하여 그룹 A 멤버의 숫자만큼 더한다 = 
# 즉, SS를 구하는 방법. 
# 전체평균에서 그룹평균을 뺀 것의 제곱을 
# 그룹 구성원 숫자만큼 더하는 것
# 그리고 이들을 다시 모두 더하여 
# ss.between에 저장
bet.ta <- (m.tot - m.a)^2 * length(A)
bet.tb <- (m.tot - m.b)^2 * length(B)
bet.tc <- (m.tot - m.c)^2 * length(C)
bet.td <- (m.tot - m.d)^2 * length(D)
ss.bet <- bet.ta + 
  bet.tb + 
  bet.tc + 
  bet.td

ss.a <- ss(A)
ss.b <- ss(B)
ss.c <- ss(C)
ss.d <- ss(D)
ss.wit <- ss.a+ss.b+ss.c+ss.c

ss.tot
ss.bet
ss.wit
ss.bet+ss.wit

df.tot <- length(dat$values) - 1
df.bet <- nlevels(dat$group) - 1
df.wit <- (length(A)-1) + 
  (length(B)-1) + 
  (length(C)-1) + 
  (length(D)-1)
df.tot
df.bet
df.wit

ms.tot <- ss.tot / df.tot
ms.bet <- ss.bet / df.bet
ms.wit <- ss.wit / df.wit

# ms.between은 그룹의 차이때문에 생긴
# 분산으로 IV 혹은 treatment 때문에 생기는
# 차이에 기인하는 분산이고

# ms.within은 각 그룹 내부에서 일어나는 분산이므로
# (variation이므로) 연구자의 관심사와는 상관이 없이
# 나타나는 random한 분산이라고 하면 

# t test 때와 마찬가지로 
# 그룹의 차이 / 랜덤 차이를 (에러 -> 분산은 에러라고도 했다)
# 구해볼 수 있다. 

# 즉, 그룹갑분산은 사실 = diff (between groups) 
# 그리고 그룹내 분산은 사실 = re
# 따라서 우리는 위 둘 간의 비율을 t test와 같이 
# 살펴볼 수 있다
# 이것을 f.calculated 이라고 하고

f.cal <- ms.bet / ms.wit
f.cal

# 컴퓨터 계산이 쉬워지기 전에는 아래처럼 0.5 level 
# 에서의 f값을 구한 후 이것과 계산된 f값을 비교해봤었다. 
qf(.05, df1 = df.bet, df2 = df.wit, lower.tail = FALSE)
f.cal
# 위에서 f.calculated > qf값이므로
# f.calculated 값으로 영가설을 부정하고
# 연구가설을 채택하면 판단이 잘못일 확률이 
# 0.05보다 작다는 것을 안다. 
# 그러나 컴퓨터계산이 용이해지고서는 qf대신에
# pf를 써서 f.cal 값에 해당하는 prob. level을 
# 알아본다. 

# percentage of f distribution with
# df1 and df2 option
# 이는 그림의 왼쪽을 나타내므로 
# 차이가 점점 커지게 되는 오른쪽을 
# 계산하기 위해서는 1-x를 취한다

p.val <- pf(f.cal, df.bet, df.wit, lower.tail=F)
p.val

f.dat <- aov(dat$values~dat$group, data=dat)
summary(f.dat)

# graph 로 이해 
x <- rf(500000, df1 = df.bet, df2 = df.wit)
y.max <- max(df(x,df1=df.bet, df2=df.wit))

hist(x,
     breaks = "Scott",
     freq = FALSE,
     xlim = c(0, f.cal + 1),
     ylim = c(0, y.max + .3),
     xlab = "",
     main = paste("Histogram for a F-distribution with 
             df1 = ", df.bet, 
          ", df2 = ", df.wit, 
          ", F cal = ", round(f.cal,3), 
          ", p val = ", round(p.val,5)), 
          cex.main = 0.9)
curve(df(x, df1 = df.bet, df2 = df.wit), 
      from = 0, to = f.cal + 1, n = 5000, 
      col = "red", lwd = 2, 
      add = T)
abline(v=f.cal, col="blue", lwd=2, lty="dotted")

f.cal
p.val
1 - p.val

# Now check this
ss.tot
ss.bet
ss.wit
ss.tot 
ss.bet + ss.wit

# 한편 df는 
# df.total  30 - 1
df.tot 
df.bet
df.wit
df.tot 
df.bet + df.wit



##################################################
a.res <- aov(values ~ group, data=dat)
a.res.sum <- summary(a.res)
a.res.sum
# 그러나 정확히 어떤 그룹에서 차이가 나는지는 판단해주지 않음 
pairwise.t.test(dat$values, dat$group, p.adj = "none")
# OR
pairwise.t.test(dat$values, dat$group, p.adj = "bonf")
pairwise.t.test(dat$values, dat$group, p.adj = "holm")

# OR TukeyHSD(anova.output)
TukeyHSD(a.res)

boxplot(dat$values~dat$group)

f.cal
p.val

boxplot(dat$values~dat$group, main="values by group",
        yaxt="n", xlab="value", horizontal=TRUE,
        col=terrain.colors(4))
legend("topleft", inset=.05, title="group",
       c("A","B","C", "D"), fill=terrain.colors(4), horiz=TRUE)
abline(v=mean(dat$values), col="red", lwd=2)

        
# how much IV explains the DV 
# in terms of SS?
r.square <- ss.bet / ss.tot
eta  <- r.square
eta
lm.res <- lm(dat$values~dat$group, data = dat)
summary(lm.res)
summary(a.res)