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\begin{eqnarray*} (a + b)^{1} & = & (a + b) \\ (a + b)^{2} & = & (a + b)(a + b) \\ (a + b)^{3} & = & (a + b)^{2} (a + b) \\ (a + b)^{4} & = & (a + b)^{3} (a + b) \\ \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} (a + b)^{1} & = & (a + b) \\ (a + b)^{2} & = & (a + b)(a + b) \\ & = & a^2 + 2ab + b^2 \\ (a + b)^{3} & = & (a^2 + 2ab + b^2)(a + b) \\ & = & a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \\ (a + b)^{4} & = & (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3)(a + b) \\ & = & a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 \\ \end{eqnarray*}

어떤 패턴이 보인다. 이 패턴을 The Binominal Theorem이라고 하고 아래처럼 표현된다.
\begin{eqnarray*} (a + b)^{m} & = & \sum^{m}_{y=0}{{m}\choose{y}} a^{y} b^{m-y} \\ \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} (a + b)^{3} & = & (a^2 + 2ab + b^2)(a + b) & = & a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \\ \end{eqnarray*}

a의 지수는 3, 2, 1, 0 순으로 내려가고
$$ a^{\huge 3} + 3a^{\huge 2}b + 3a^{\huge 1}b^2 + a^{\huge 0}b^3 $$
b의 지수는 0, 1, 2, 3 순으로 올라간다.
$$ a^3b^{\huge 0} + 3a^2b^{\huge 1} + 3a^1b^{\huge 2} + a^0 b^{\huge 3} $$

이는 아래와 같이 정리할 수 있다.
\begin{align*} n&=3 \\ k&=0 & k&=1 & k&=2 & k&=3 \\ &a^3 & &a^2 & &a^1 & &1 \\ &1 & &b^1 & &b^2 & &b^3 \end{align*}

\begin{eqnarray*} {\huge a^{n-k}b^{k}} \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} &1& \\ a &+& b \\ a^2 + 2a&b& + b^2 \\ a^3 + 3a^2b &+& 3ab^2 + b^3 \end{eqnarray*}