mean_and_variance_of_geometric_distribution
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|---|---|---|---|
| Line 41: | Line 41: | ||
| ====== Variance ====== | ====== Variance ====== | ||
| + | For (1), see | ||
| + | [[Expected value and variance properties# | ||
| \begin{align} | \begin{align} | ||
| Var(X) & = E((X-E(X))^{2}) \nonumber \\ | Var(X) & = E((X-E(X))^{2}) \nonumber \\ | ||
| Line 53: | Line 55: | ||
| $p(x) = q^{(k-1)} \cdot p $ 혹은 | $p(x) = q^{(k-1)} \cdot p $ 혹은 | ||
| $p(x) = (1-p)^{(k-1)} \cdot p $ | $p(x) = (1-p)^{(k-1)} \cdot p $ | ||
| - | 그리고 우선 $(1)$식에서 $E(X^2)$ 부분을 보면, | + | 그리고 우선 $(6)$식에서 $E(X^2)$ 부분을 보면, |
| \begin{align} | \begin{align} | ||
| Line 108: | Line 110: | ||
| 이는 기하분포의 평균에서 p가 생략된 것과 같다. | 이는 기하분포의 평균에서 p가 생략된 것과 같다. | ||
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | \left(E(X) = \right) | + | E(X) = \sum_{k=1}^{n} k (1-p)^{k-1} \cdot p & = \frac{1}{p} \\ |
| \sum_{k=1}^{n} k (1-p)^{k-1} & = \frac{1}{p^2} \\ | \sum_{k=1}^{n} k (1-p)^{k-1} & = \frac{1}{p^2} \\ | ||
| \\ | \\ | ||
| Line 118: | Line 120: | ||
| \end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} | ||
| - | n이 무한대로 간다고 생각하면 (, [[: | + | n이 무한대로 간다고 생각하면 ([[: |
| \begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} | ||
| \sum_{k=1}^{\infty} ar^{k-1} & = & a \frac{1-r^n}{1-r} \\ | \sum_{k=1}^{\infty} ar^{k-1} & = & a \frac{1-r^n}{1-r} \\ | ||
| a=1; r = (1-p); \\ | a=1; r = (1-p); \\ | ||
| \sum_{k=1}^{\infty} (1-p)^{k-1} & = & \frac{1-(1-p)^n}{1-(1-p)} \\ | \sum_{k=1}^{\infty} (1-p)^{k-1} & = & \frac{1-(1-p)^n}{1-(1-p)} \\ | ||
| - | (1-p)^n | + | (1-p)^n |
| & = & \frac{1}{p} | & = & \frac{1}{p} | ||
| \end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} | ||
| Line 132: | Line 134: | ||
| \\ | \\ | ||
| \end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} | ||
| + | |||
| + | 따라서 | ||
| \begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} | ||
mean_and_variance_of_geometric_distribution.1697612967.txt.gz · Last modified: 2023/10/18 16:09 by hkimscil