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Q. 집합 Y의 기대값을 구하시오.

> y <- c(0,1,2,3)
> py <- c(1/6,1/2,36/120,1/30)
> y*py
[1] 0.0 0.5 0.6 0.1
> exp <- sum(y*py)
> exp
[1] 1.2
>

Q. 집합 Y의 분산값을 구하시오

>((y-exp)^2)
[1] 1.44 0.04 0.64 3.24
> ((y-exp)^2)*py
[1] 0.240 0.020 0.192 0.108
> sum((y-exp)^2*py)
[1] 0.56

Q. A는 건빵 두 봉지를 받았다. 하나는 경기지역에서 판매되는 것이고 다른 하나는 서울지역에서 판매되는 것이다. 각 건빵에는 별사탕 봉지가 들어 있다. 경기지역의 건빵 별사탕봉지에는 분홍색 별사탕이 30개 검은색 별사탕이 10개 그리고 흰색별사탕이 20개 들어 있다. 서울지역의 별사탕에는 분홍색 별사탕이 10개, 검은색 별사탕이 20개, 그리고 흰색별사탕이 20개 들어 있다고 한다. 두 개의 별사탕봉지 중에서 하나를 열어서 별사탕을 집어 보니 분홍색이었다. 이 별사탕이 경기지역의 건빵봉지의 것일 확률을 구하여라.

분홍색이 관건이므로 
1/2  경기    3/6  분홍색      P(분홍&경기) = 1/2 * 1/2 = a
            3/6  비분홍색

1/2  서울    1/5 분홍색       P(분홍&서울) = 1/2 * 1/5 = b
            4/5 비분홍색 
            
위에서 P(분홍색은) = a + b = 14/40
P(경기|분홍색)을 묻는 질문이므로 =  a / (a+b) = (1/4) / (14/40) = 40/56

Q. 어느 병원의 응급실에 오는 환자 중 10%는 치명상이다. 40%는 중상이고, 나머지 50%는 경상이다. 치명상 환자 중 30%는 치료도중 사망한다고 한다. 중상환자는 10%가 사망한다고 한다. 그리고 경사환자는 1%가 사망한다고 한다. 어느 환자가 사망하였다. 이 환자가 치명상을 입고 입원했을 확률은?

1/10  치명상   3/10 사망  a = 1/10 * 3/10
              7/10 생존
4/10  중상     1/10 사망  b = 4/10 * 1/10
              9/10 생존
5/10  경상     1/100 사망 c = 5/10 * 1/100
               99/100 생존
질문은 P(치명상|사망)이므로 이는 P(치명상&사망) / P(사망) 이다.
P(사망) = a + b + c
= 3/100 + 4/100 + 5/1000
= 75/1000
P(치명상&사망) = a = 3/100
a / (a+b+c) 
= (3/100) / (75/1000) 
= 3*1000 / 100*75 = 30/75 = 6/15 = 2/5

Q. 평균이 100 이고 분산이 100인 샘플이 있다. 이 샘플의 모든 점수를 표준점수화 했다고 하면 이 집단의 평균은 무엇인가? 이 집단의 표준편차는?

A. 0 과 1 이 된다 

Q. 아래의 테이블에서

• 무죄인 사람이 풀려나는 확률은?
• 어떤 사람이 징역을 받았다. 이 사람이 사실은 무죄일 확률은?

테이블을 살펴보면 쉽다.
80/100
20/830

만약에 배운대로 한다고 하면

P(풀려남|무죄) = 80/100

10/100  무죄    20/100 징역형 a
                  80/100 무죄방면
90/100  유죄    810/900 징역형  b
                  90/900 무죄방면
p(징역형) = 10/100*20/100 + 90/100*810/900
= 20/1000 + 810/1000 (a+b)
= 830/1000  . . . . 
P(무죄|징역형) = a/(a+b) = (20/1000) / (830/1000) = 20/830

Q. 주사위를 굴려서 1이 나오면 이기는 게임을 한다. 이 때 무한히 주사위를 굴려서 이길 기대값을 구한다면 몇이될까? geometric_sequences_and_sums 문서를 참조하여 푸시오.

이길 확률은
처음 + 두번 째 + 세번 째 + . . . .
1/6 + 1/6*(6/5) + 1/6*(6/5)^2 + 1/6*(6/5)^3 . . . . . 와 같다. 그런데 이것은
\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n-1}(ar^{k}) & = & a + ar + ar^2 + ar^3 + . . . + ar^{(n-2)} + ar^{(n-1)} \\ \end{eqnarray*}
에서
a = 1/6 이고
r = 5/6 인 geometric series 의 합을 구하는 것과 같으므로

\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}(ar^n) & = & a \cdot \left(\frac{1}{1-r}\right) \\ & & \text{when } \\ & & n \rightarrow \infty, \;\; |r| < 1, \;\; r \ne 0 \\ & & r^{n} = 0 \\ \end{eqnarray*}

따라서 무한히 주사위를 굴릴 때 구하는 기대값은
\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}(ar^n) & = & \frac{1}{6} \cdot \left(\frac{1}{1-\frac{5}{6}}\right) \\ & = & 1 \\ \end{eqnarray*}