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c:ps1-1:note_on_statistical_test_2

Differences

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c:ps1-1:note_on_statistical_test_2 [2024/12/11 08:42] – hkimscilc:ps1-1:note_on_statistical_test_2 [2024/12/11 09:01] (current) – [The meaning of statistical testing] hkimscil
Line 1: Line 1:
 +====== The meaning of statistical testing  ======
 +difference / random error
 <code> <code>
 ## ##
Line 55: Line 57:
 mean(s1) + c(-c2, c2) mean(s1) + c(-c2, c2)
  
 +
 +##############################
 +# two sample t-test
 +# independent two sample t-test
 +##############################
 set.seed(101) set.seed(101)
 A <- rnorm2(16, 26, sqrt(1160/15)) A <- rnorm2(16, 26, sqrt(1160/15))
Line 105: Line 112:
 se se
 t.calculated t.calculated
 +pt(t.calculated, df=(n.a-1+n.b-1), lower.tail = F)*2
  
 # Now use t.test function for two group # Now use t.test function for two group
Line 138: Line 146:
 dat <- c(A,B) dat <- c(A,B)
 dat dat
 +
 +# just to remind
 +mean(A)
 +mean(B)
 +sd(A)
 +sd(B)
  
 mean.total <- mean(dat) mean.total <- mean(dat)
 var.total <- var(dat) var.total <- var(dat)
 +mean.total
 +var.total
 # variance를 ms라고 부르기도 한다 # variance를 ms라고 부르기도 한다
 # ms = mean square (square 값을 n 으로 나눈 값이 분산이므로) # ms = mean square (square 값을 n 으로 나눈 값이 분산이므로)
Line 191: Line 207:
 ss.a <- var(A) * df.a ss.a <- var(A) * df.a
 ss.b <- var(B) * df.b ss.b <- var(B) * df.b
 +ss.a
 +ss.b
 +
 ss.within <- ss.a + ss.b ss.within <- ss.a + ss.b
  
Line 196: Line 215:
 df.b <- length(B)-1 df.b <- length(B)-1
 df.within <- df.a + df.b df.within <- df.a + df.b
 +df.within
  
 ms.within <- ss.within / df.within ms.within <- ss.within / df.within
 +ms.within
  
 # 여기까지 우리는  # 여기까지 우리는 
Line 241: Line 262:
 # 차이가 점점 커지게 되는 오른쪽을  # 차이가 점점 커지게 되는 오른쪽을 
 # 계산하기 위해서는 1-x를 취한다 # 계산하기 위해서는 1-x를 취한다
-f.calculated.pvalue <- 1-pf(f.calculated, df1=df.between, df2=df.within)+f.calculated.pvalue <- pf(f.calculated,  
 +                          df1=df.between, df2=df.within,  
 +                          lower.tail = F)
 f.calculated.pvalue f.calculated.pvalue
 +# 위가 의미하는 것은?
 +
 +
 # 한편,  t test를 했었을 때 (A, B 그룹을 가지고 independent  # 한편,  t test를 했었을 때 (A, B 그룹을 가지고 independent 
 # samples t-test를) 아웃 풋은  # samples t-test를) 아웃 풋은 
Line 324: Line 350:
 t.result$statistic t.result$statistic
  
 +
 +</code>
 +====== Output ======
 +<code>
 +> 
 +> 
 +> ##
 +> ## t-test 이해 확인
 +> ## remember t test = diff / rand error
 +> ##
 +> 
 +> # 
 +> iter <- 100000 # # of sampling 
 +> 
 +> set.seed(201)
 +> n <- 25
 +> means <- rep (NA, iter)
 +> for(i in 1:iter){
 ++   means[i] = mean(rnorm(n, mean=100, sd=10))
 ++ }
 +> 
 +> # from data
 +> mean(means)
 +[1] 100.0073
 +> sd(means)
 +[1] 2.006801
 +> 
 +> # from CLT
 +> m.means <- 100
 +> sd.means <- 10/sqrt(n)
 +> m.means
 +[1] 100
 +> sd.means
 +[1] 2
 +> 
 +> # sample n의 평균과 표준편차가 정확히 
 +> # mean, sd값을 갖도록 하는 변형된 펑션 
 +> 
 +> rnorm2 <- function(n, mean, sd) { 
 ++   mean + sd * scale(rnorm(n)) 
 ++ }
 +> 
 +> mu <- 100
 +> sig <- 10
 +> sigsq <- sig^2
 +> 
 +> n <- 100
 +> s1 <- rnorm2(n, 105, 10)
 +> s1
 +            [,1]
 +  [1,]  94.82673
 +  [2,] 100.67062
 +  [3,]  86.56655
 +  [4,] 102.50826
 +  [5,] 115.06784
 +  [6,] 112.31035
 +  [7,] 120.18990
 +  [8,] 110.75772
 +  [9,]  98.72139
 + [10,] 115.53427
 + [11,] 113.08491
 + [12,] 115.15631
 + [13,] 109.03973
 + [14,] 109.80571
 + [15,] 112.59637
 + [16,] 110.05880
 + [17,]  98.12066
 + [18,] 102.55201
 + [19,] 107.48263
 + [20,] 121.72817
 + [21,]  93.28985
 + [22,] 119.32581
 + [23,] 100.53356
 + [24,] 102.47885
 + [25,]  83.84757
 + [26,] 114.45743
 + [27,] 104.89082
 + [28,]  88.02556
 + [29,] 117.62567
 + [30,]  99.43814
 + [31,] 101.09237
 + [32,] 118.65687
 + [33,]  93.25172
 + [34,] 105.57357
 + [35,] 118.83922
 + [36,]  96.54377
 + [37,]  82.22041
 + [38,]  96.65677
 + [39,] 111.01699
 + [40,] 110.31354
 + [41,] 111.67834
 + [42,]  97.06930
 + [43,] 106.48119
 + [44,] 112.62763
 + [45,] 109.52175
 + [46,] 117.83589
 + [47,] 106.59963
 + [48,]  95.41232
 + [49,] 118.29291
 + [50,] 102.73511
 + [51,] 102.07018
 + [52,] 103.52060
 + [53,]  97.40788
 + [54,]  97.62230
 + [55,] 114.44623
 + [56,] 101.93851
 + [57,] 121.84801
 + [58,]  80.19037
 + [59,]  98.76738
 + [60,]  86.28351
 + [61,] 109.94310
 + [62,] 113.33271
 + [63,] 107.60982
 + [64,] 111.13329
 + [65,] 123.62779
 + [66,]  89.83115
 + [67,] 120.45166
 + [68,]  97.78465
 + [69,] 114.37189
 + [70,] 104.57338
 + [71,] 111.63632
 + [72,] 110.01555
 + [73,] 101.47403
 + [74,] 108.06043
 + [75,] 107.34460
 + [76,] 100.78840
 + [77,] 102.86933
 + [78,] 112.86528
 + [79,] 107.89393
 + [80,] 111.71369
 + [81,] 102.47335
 + [82,] 111.80243
 + [83,] 101.35135
 + [84,]  88.35982
 + [85,] 104.51148
 + [86,] 112.76071
 + [87,]  95.75548
 + [88,] 107.23106
 + [89,]  87.08389
 + [90,] 110.88797
 + [91,]  96.50021
 + [92,]  87.04557
 + [93,] 108.36235
 + [94,]  82.16950
 + [95,] 112.75471
 + [96,]  98.58600
 + [97,] 103.24843
 + [98,]  97.48461
 + [99,] 118.06208
 +[100,] 109.04152
 +attr(,"scaled:center")
 +[1] -0.1008262
 +attr(,"scaled:scale")
 +[1] 1.043405
 +> 
 +> diff <- mean(s1) - mu
 +> se <- sig/sqrt(n)
 +> diff
 +[1] 5
 +> se
 +[1] 1
 +> t.cal <- diff/se
 +> t.cal
 +[1] 5
 +> pt(t.cal, n-1, lower.tail = F)
 +[1] 0.000001240698
 +> 
 +> t.test(s1, mu=100)
 +
 + One Sample t-test
 +
 +data:  s1
 +t = 5, df = 99, p-value = 0.000002481
 +alternative hypothesis: true mean is not equal to 100
 +95 percent confidence interval:
 + 103.0158 106.9842
 +sample estimates:
 +mean of x 
 +      105 
 +
 +> 
 +> se <- sig/sqrt(n)
 +> c2 <- qt(.975, df=99)
 +> c2
 +[1] 1.984217
 +> mean(s1) + c(-c2, c2)
 +[1] 103.0158 106.9842
 +> 
 +> 
 +> ##############################
 +> # two sample t-test
 +> # independent two sample t-test
 +> ##############################
 +> set.seed(101)
 +> A <- rnorm2(16, 26, sqrt(1160/15))
 +> B <- rnorm2(16, 19, sqrt(1000/15))
 +> A <- c(A)
 +> B <- c(B)
 +> 
 +> # we know sqrt(1160/15) is A's sdev
 +> # hence, A's var is sqrt(1160/15)^2
 +> # hence, A's SS is sqrt(1160/15)^2 * 15
 +> # this is 1160
 +> 
 +> # from the above,
 +> # the difference between the A and B means
 +> # remember we try to find
 +> # difference due to the treatment / 
 +> # / random chance of error
 +> diff <- mean(A) - mean(B)
 +> 
 +> # for se
 +> # we know that the situation refers to
 +> # #2 se two independent samples t-test
 +> # which is sqrt(pooled.var/na + pooled.var/nb)
 +> 
 +> SSa <- 1160
 +> SSb <- 1000
 +> n.a <- 16
 +> n.b <- 16
 +> df.a <- n.a - 1 
 +> df.b <- n.b - 1
 +> 
 +> # 확률과통계 수업 학생은 아래에서 
 +> # se값을 구한 결과만 보고 이것이 
 +> # se = sqrt(sigma^2/n)에
 +> # 대응하는 값으로 생각하세요
 +> 
 +> # we know that we are testing the difference 
 +> # between two independent sample means.
 +> # Hence, we need to use poole variance between 
 +> # the two group. See
 +> # http://commres.net/wiki/t-test#t-test_%EB%B9%84%EA%B5%90
 +> pooled.var <- (SSa + SSb) / (df.a + df.b)
 +> se <- sqrt( (pooled.var/n.a) + (pooled.var/n.b) )
 +> 
 +> # Remember t test calculation is based on 
 +> # diff / random error 
 +> t.calculated <- diff / se
 +> pooled.var
 +[1] 72
 +> diff
 +[1] 7
 +> se
 +[1] 3
 +> t.calculated
 +[1] 2.333333
 +> pt(t.calculated, df=(n.a-1+n.b-1), lower.tail = F)*2
 +[1] 0.02652366
 +> 
 +> # Now use t.test function for two group
 +> # (independent sample) t-test
 +> # with an assumption that variances of 
 +> # the two gorup are the same.
 +> t.result <- t.test(A, B, var.equal = T)
 +> t.result
 +
 + Two Sample t-test
 +
 +data:  A and B
 +t = 2.3333, df = 30, p-value = 0.02652
 +alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
 +95 percent confidence interval:
 +  0.8731826 13.1268174
 +sample estimates:
 +mean of x mean of y 
 +       26        19 
 +
 +> 
 +> # t.result$statistic = t.calculated
 +> # t.result$p.value = probability level of 
 +> # wrong decision with the t calculated value
 +> str(t.result)
 +List of 10
 + $ statistic  : Named num 2.33
 +  ..- attr(*, "names")= chr "t"
 + $ parameter  : Named num 30
 +  ..- attr(*, "names")= chr "df"
 + $ p.value    : num 0.0265
 + $ conf.int   : num [1:2] 0.873 13.127
 +  ..- attr(*, "conf.level")= num 0.95
 + $ estimate   : Named num [1:2] 26 19
 +  ..- attr(*, "names")= chr [1:2] "mean of x" "mean of y"
 + $ null.value : Named num 0
 +  ..- attr(*, "names")= chr "difference in means"
 + $ stderr     : num 3
 + $ alternative: chr "two.sided"
 + $ method     : chr " Two Sample t-test"
 + $ data.name  : chr "A and B"
 + - attr(*, "class")= chr "htest"
 +> t.result$statistic
 +       t 
 +2.333333 
 +> t.result$p.value
 +[1] 0.02652366
 +> 
 +> # the above p.value can be obtained with 
 +> # pt function
 +> p.value.calculated <- 2*pt(t.calculated, df = df.a + df.b, lower.tail=FALSE)
 +> p.value.calculated
 +[1] 0.02652366
 +> t.result$p.value
 +[1] 0.02652366
 +> 
 +> ##
 +> ## different approach (분산으로 분석)
 +> ## 
 +> 
 +> # A combined group with group A and B
 +> # We call it group total
 +> # we can obtain its mean, variance, ss, df, etc.
 +> # 
 +> A
 + [1] 20.994218 31.148068 16.961481 27.240217 28.354539 38.331534
 + [7] 31.914700 23.459605 35.361796 22.182136 30.847396 15.575648
 +[13] 41.264878  7.808831 22.026979 22.527973
 +> B
 + [1] 12.941146 21.270062 13.235378  1.931364 19.232163 27.231465
 + [7] 18.276359  7.308871 27.560815  7.799787 25.017185 19.639663
 +[13] 25.018756 25.302096 28.941002 23.293888
 +> dat <- c(A,B)
 +> dat
 + [1] 20.994218 31.148068 16.961481 27.240217 28.354539 38.331534
 + [7] 31.914700 23.459605 35.361796 22.182136 30.847396 15.575648
 +[13] 41.264878  7.808831 22.026979 22.527973 12.941146 21.270062
 +[19] 13.235378  1.931364 19.232163 27.231465 18.276359  7.308871
 +[25] 27.560815  7.799787 25.017185 19.639663 25.018756 25.302096
 +[31] 28.941002 23.293888
 +> 
 +> # just to remind
 +> mean(A)
 +[1] 26
 +> mean(B)
 +[1] 19
 +> sd(A)
 +[1] 8.793937
 +> sd(B)
 +[1] 8.164966
 +> 
 +> mean.total <- mean(dat)
 +> var.total <- var(dat)
 +> mean.total
 +[1] 22.5
 +> var.total
 +[1] 82.32258
 +> # variance를 ms라고 부르기도 한다
 +> # ms = mean square (square 값을 n 으로 나눈 값이 분산이므로)
 +> ms.total <- var.total
 +> 
 +> df.total <- length(dat) - 1
 +> ss.total <- var.total * df.total
 +> # ss.total 은 아래처럼 구해도 된다
 +> ss.total.check <- sum((dat-mean(dat))^2)
 +> 
 +> mean.total
 +[1] 22.5
 +> var.total
 +[1] 82.32258
 +> ms.total
 +[1] 82.32258
 +> df.total 
 +[1] 31
 +> ss.total
 +[1] 2552
 +> ss.total.check
 +[1] 2552
 +> 
 +> # Now for each group
 +> mean.a <- mean(A)
 +> mean.b <- mean(B)
 +> mean.a
 +[1] 26
 +> mean.b
 +[1] 19
 +> 
 +> # 그룹 간의 차이에서 나타나는 분산
 +> # 수업시간에 설명을 잘 들을 것
 +> 
 +> # mean.total 에서 그룹a의 평균까지의 차이를 구한 후
 +> # 이를 제곱하여 그룹 A 멤버의 숫자만큼 곱한다 
 +> # 이를 그룹b의 평균과도 다시 계산하고 
 +> # 이 둘을 더하여
 +> # ss.between에 저장
 +> 
 +> length(A) * ((mean.total - mean.a)^2)
 +[1] 196
 +> length(B) * ((mean.total - mean.b)^2)
 +[1] 196
 +> 
 +> ss.between <- 
 ++   length(A)*((mean.total - mean.a)^2) + 
 ++   length(B)*((mean.total - mean.b)^2)
 +> ss.between
 +[1] 392
 +> 
 +> # df between group은 연구에 사용된 
 +> # 그룹의 숫자에서 1을 뺀 숫자
 +> df.between <- 2 - 1
 +> 
 +> # 이 그룹 간 차이에 기인하는 분산 값은
 +> ms.between <- ss.between / df.between
 +> 
 +> # 한편 아래 ss.a 와 ss.b는 각 그룹 내의 
 +> # 분산을 알아보기 위한 방법
 +> ss.a <- var(A) * df.a
 +> ss.b <- var(B) * df.b
 +> ss.a
 +[1] 1160
 +> ss.b
 +[1] 1000
 +> 
 +> ss.within <- ss.a + ss.b
 +> 
 +> df.a <- length(A)-1
 +> df.b <- length(B)-1
 +> df.within <- df.a + df.b
 +> df.within
 +[1] 30
 +> 
 +> ms.within <- ss.within / df.within
 +> ms.within
 +[1] 72
 +> 
 +> # 여기까지 우리는 
 +> # 전체분산
 +> # 그룹간분산
 +> # 그룹내분산 값을 
 +> # 구한 것
 +> 
 +> # ms.between은 그룹의 차이때문에 생긴
 +> # 분산으로 IV 혹은 treatment 때문에 생기는
 +> # 차이에 기인하는 분산이다. 
 +> 
 +> # ms.within은 각 그룹 내부에서 일어나는 분산이므로
 +> # (variation이므로) 연구자의 관심사와는 상관이 없이
 +> # 나타나는 random한 차이를 알려주는 분산이라고 하면 
 +> 
 +> # t test 때와 마찬가지로 
 +> # 그룹의 차이 / 랜덤 차이를 (에러 -> 분산은 에러라고도 했다)
 +> # 구해볼 수 있다. 
 +> 
 +> # 즉, 그룹갑분산은 사실 = diff (between groups) 
 +> # 그리고 그룹내 분산은 사실 = re
 +> # 따라서 우리는 위 둘 간의 비율을 t test와 같이 
 +> # 살펴볼 수 있다
 +> 
 +> # 이것을 f.calculated 이라고 하고
 +> f.calculated <- ms.between / ms.within
 +> 
 +> # 이 값을 출력해 본다
 +> f.calculated
 +[1] 5.444444
 +> 
 +> # 이 계산은 차이와 랜덤에러의 비율이
 +> # df에 따라서 얼마나 되어야 그 차이가
 +> # 충분히 큰 것인지를 판단하기 위해서
 +> # 쓰인다. 여기서 df에는 두 가지 종류가
 +> # 있다. df.between 그리고 df.within
 +> # 이 정보를 이용하여 f.calculated 값에 대한 
 +> # probability를 구할 수 있다 (t-test때 처럼)
 +> 
 +> # percentage of f distribution with
 +> # df1 and df2 option
 +> # 이는 그림의 왼쪽을 나타내므로 
 +> # 차이가 점점 커지게 되는 오른쪽을 
 +> # 계산하기 위해서는 1-x를 취한다
 +> f.calculated.pvalue <- pf(f.calculated, 
 ++                           df1=df.between, df2=df.within, 
 ++                           lower.tail = F)
 +> f.calculated.pvalue
 +[1] 0.02652366
 +> # 위가 의미하는 것은?
 +> 
 +> 
 +> # 한편,  t test를 했었을 때 (A, B 그룹을 가지고 independent 
 +> # samples t-test를) 아웃 풋은 
 +> t.result 
 +
 + Two Sample t-test
 +
 +data:  A and B
 +t = 2.3333, df = 30, p-value = 0.02652
 +alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
 +95 percent confidence interval:
 +  0.8731826 13.1268174
 +sample estimates:
 +mean of x mean of y 
 +       26        19 
 +
 +> 
 +> # 그리고 f 계산에서의 p value는 t test에서의 p.value와 같다
 +> f.calculated.pvalue
 +[1] 0.02652366
 +> t.result$p.value
 +[1] 0.02652366
 +> 
 +> # 또한
 +> # 여기엣 t 값은 t.result$statistic 으로 프린트아웃할 수 있다
 +> # 이 값이 2.33333 이었다
 +> t.result$statistic
 +       t 
 +2.333333 
 +> # 혹은 우리가 계산한 값이었던 
 +> # t.calculated
 +> t.calculated
 +[1] 2.333333
 +> 
 +> # 그런데 위의 값을 제곱한 값이 바로 f.calculated 값
 +> f.calculated
 +[1] 5.444444
 +> t.calculated
 +[1] 2.333333
 +> t.calculated^2
 +[1] 5.444444
 +> 
 +> # 혹은 f.calculated 값을 제곱근한 값이 t.calculated
 +> f.calculated
 +[1] 5.444444
 +> sqrt(f.calculated) 
 +[1] 2.333333
 +> t.calculated
 +[1] 2.333333
 +> 
 +> # 또한 우리는 계산한 ms.total의 분자 부분인 ss.total은 
 +> # 독립변인이 영향을 주는 ss.between 값과
 +> # 독립변인이 있음에도 불구하고 여전히 남는 ss.within
 +> # 으로 이루어짐을 아래처럼 확인한다.
 +> ss.total
 +[1] 2552
 +> ss.between
 +[1] 392
 +> ss.within
 +[1] 2160
 +> ss.total 
 +[1] 2552
 +> ss.between + ss.within
 +[1] 2552
 +> 
 +> # 한편 df는 
 +> # df.total  30 - 1
 +> df.total 
 +[1] 31
 +> df.between
 +[1] 1
 +> df.within
 +[1] 30
 +> df.total 
 +[1] 31
 +> df.between + df.within
 +[1] 31
 +> 
 +> # 한 편
 +> # 아래는 위의 분산을 쪼개서 분석하는 펑션인 
 +> # aov를 이용해서 통계분석을 한 결과이다.
 +> 
 +> A 
 + [1] 20.994218 31.148068 16.961481 27.240217 28.354539 38.331534
 + [7] 31.914700 23.459605 35.361796 22.182136 30.847396 15.575648
 +[13] 41.264878  7.808831 22.026979 22.527973
 +> B
 + [1] 12.941146 21.270062 13.235378  1.931364 19.232163 27.231465
 + [7] 18.276359  7.308871 27.560815  7.799787 25.017185 19.639663
 +[13] 25.018756 25.302096 28.941002 23.293888
 +> comb <- stack(list(a=A, b=B))
 +> comb
 +      values ind
 +1  20.994218   a
 +2  31.148068   a
 +3  16.961481   a
 +4  27.240217   a
 +5  28.354539   a
 +6  38.331534   a
 +7  31.914700   a
 +8  23.459605   a
 +9  35.361796   a
 +10 22.182136   a
 +11 30.847396   a
 +12 15.575648   a
 +13 41.264878   a
 +14  7.808831   a
 +15 22.026979   a
 +16 22.527973   a
 +17 12.941146   b
 +18 21.270062   b
 +19 13.235378   b
 +20  1.931364   b
 +21 19.232163   b
 +22 27.231465   b
 +23 18.276359   b
 +24  7.308871   b
 +25 27.560815   b
 +26  7.799787   b
 +27 25.017185   b
 +28 19.639663   b
 +29 25.018756   b
 +30 25.302096   b
 +31 28.941002   b
 +32 23.293888   b
 +> colnames(comb)[1] <- "values"
 +> colnames(comb)[2] <- "group"
 +> comb
 +      values group
 +1  20.994218     a
 +2  31.148068     a
 +3  16.961481     a
 +4  27.240217     a
 +5  28.354539     a
 +6  38.331534     a
 +7  31.914700     a
 +8  23.459605     a
 +9  35.361796     a
 +10 22.182136     a
 +11 30.847396     a
 +12 15.575648     a
 +13 41.264878     a
 +14  7.808831     a
 +15 22.026979     a
 +16 22.527973     a
 +17 12.941146     b
 +18 21.270062     b
 +19 13.235378     b
 +20  1.931364     b
 +21 19.232163     b
 +22 27.231465     b
 +23 18.276359     b
 +24  7.308871     b
 +25 27.560815     b
 +26  7.799787     b
 +27 25.017185     b
 +28 19.639663     b
 +29 25.018756     b
 +30 25.302096     b
 +31 28.941002     b
 +32 23.293888     b
 +> 
 +> a.res <- aov(values ~ group, data=comb)
 +> a.res.sum <- summary(a.res)
 +> a.res.sum
 +            Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)  
 +group        1    392     392   5.444 0.0265 *
 +Residuals   30   2160      72                 
 +---
 +Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
 +> # 위에서 F value는 5.444 
 +> # 그리고 전체적인 아웃풋을 보면 
 +> # Df group 과 Df Residuals
 +> # Sum Sq group 과 Residuals
 +> # Mean Sq (MS) group 과 MS residuals
 +> 
 +> # MS.group = 
 +> ms.between
 +[1] 392
 +> 
 +> # MS.within = 
 +> ms.within
 +[1] 72
 +> 
 +> # F value
 +> ms.between / ms.within 
 +[1] 5.444444
 +> f.calculated
 +[1] 5.444444
 +> 
 +> # 아래는 기존의 아웃풋에서 확인하는 것
 +> str(a.res.sum)
 +List of 1
 + $ :Classes ‘anova’ and 'data.frame': 2 obs. of  5 variables:
 +  ..$ Df     : num [1:2] 1 30
 +  ..$ Sum Sq : num [1:2] 392 2160
 +  ..$ Mean Sq: num [1:2] 392 72
 +  ..$ F value: num [1:2] 5.44 NA
 +  ..$ Pr(>F) : num [1:2] 0.0265 NA
 + - attr(*, "class")= chr [1:2] "summary.aov" "listof"
 +> a.res.sum[[1]][1,4]
 +[1] 5.444444
 +> sqrt(a.res.sum[[1]][1,4])
 +[1] 2.333333
 +> t.result$statistic
 +       t 
 +2.333333 
 +> 
 </code> </code>
c/ps1-1/note_on_statistical_test_2.1733874177.txt.gz · Last modified: 2024/12/11 08:42 by hkimscil
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