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--- c:mrm:2022:qs_from_stu [2022/04/15 21:03] – hkimscil
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 ====== Qs from students ======
-===== 새힘학생 질문  =====
+===== 질문 1  =====
+<blockquote>
+교수님께서 샘플 분산값을 설명하실 적에 집합 x{3,4,3,4,6}을 예시로 드시면서, 샘플평균은 항상 모집단의 평균보다 작아 이를 극복하기 위해 n-1로 나누어준다고 하셨던 것 같습니다. 따라서 이 집합의 갯수 n=5가 아니라 n-1값인 4로 나누어 분산 값 1.5를 얻었구요. 그런데 뒤에 N(70,15^2), n=100인 샘플을 취할때나 그 이후 샘플 분산을 구할 때는 n-1을 하지 않은 것 같아서요.
+혹시 어떤 차이점이 있어서 그런 걸 까요?
+</blockquote>
+위 학생의 질문에서 앞부분, X = {3, 4, 3, 4, 6} 의 분산값을 구하기 위해서 SS를 n-1로 나눈다는 이야기는 맞습니다. 그러나, 뒤의 N(70, 15^2) 부분에 대한 이해는 약간 정리가 안되어 있습니다. 이를 설명해 보겠습니다.
+위에서 N(70, 15^2)은 평균이 70이고 표준편차가 15인 (따라서 분산이 15^2인) 모집단을 (population) 의미하는 것입니다. 선생님은 이 모집단에서 n=100인 샘플을 구해 (샘플링을 하여서) 그 평균값을 기록하고, 다시 이 샘플을 모집단에 다시 넣고, 샘플링을 하여 또 평균값을 기록하는 것을 반복하여 **이 평균값의 집합을** 모아 놓는다는 것을 말하였습니다 (이론적으로는 이것을 무한반복합니다). 이것을 기호로 다시 표현하면 아래와 같이 표현할 수 있습니다.
+$$
+\overline{X } \sim N(\mu_{\overline{X}}, {\sigma_{\overline{X}}}^2)
+$$
+위에서
+  * $\overline{X}$ 는 X bar 즉 평균을 의미하고
+  * $\sim $ 사인은 앞의 X bar 들의 집합을 의미합니다.
+  * $\mu_{\overline{X}}$ 기호는 샘플평균들로 이루어진 집합의 평균을 뜻하며
+  * $(\sigma_{\overline{X}})^2$ 기호는 샘플평균들의 분산값을 말합니다.
+  * 여기서 [[:Central Limit Theorem]] 이 말하는 것은
+    * 이 평균집단의 평균 $\mu_{\overline{X}}$ 값은 모집단의 평균인 $70$ 이 되고
+    * 분산 값은 모집단 분산값을 샘플의 크기인 n으로 나누 값이 된다는 것입니다. 즉, ${\sigma_{\overline{X}}}^2 = \frac{\sigma^2}{n}$ 입니다. 위의 예에서는 $\frac {15^2} {100} $ 입니다.
+    * 그리고 이 평균들의 집합은 정상분포를 (Normal distribution) 이룬다는 것입니다.
+$$
+\begin{eqnarray*}
+\overline{X } & \sim & N(\mu_{\overline{X}}, {\sigma_{\overline{X}}}^2) \\
+& \sim & N(\mu, \frac{\sigma^2}{n}) \\
+& \sim & N(70, \frac{15^2} {100}) \\
+\end{eqnarray*}
+$$
+$- $
+  * 그런데 이 두 번째 식이 이 집단의 분산값을 구하는 공식이고 이것이 SS를 df로 나눈다는 식을 대체하는 것은 아닙니다. 그냥 단지 가치가 (분산값이) 서로 같다는 것을 말합니다.
+  * 위의 샘플평균들의 집합에서 (distribution of sample means) 직접 분산 값을 구한다고 하면 아래와 같이 구해야 할 것입니다.
+$$
+\begin{eqnarray*}
+(\sigma_{\bar{X}})^2  & = & \frac {SS} {df} \\
+& = & \frac {\Sigma{(\overline{X_{i}} - \mu_\overline{X})}} {n-1} \\
+\end{eqnarray*}
+$$
+$- $
+  * 선생님이 이야기 하는 것은 바로 위의 분산 값이 $\frac{\sigma^2}{n}$ 와 같은 값이 된다는 뜻입니다.
+  * 즉, 다시 한번 쓰면
+$$
+\begin{eqnarray}
+(\sigma_{\bar{X}})^2  & = & \frac {SS} {df} \\
+& = & \frac {\Sigma{(\overline{X_{i}} - \mu_\overline{X})}} {n-1} \\
+& = & \frac{\sigma^2}{n} \\
+& = & \frac{15^2}{100}
+\end{eqnarray}
+$$
+위에서 (2)와 (3)은 그 값이 (value) 같다는 뜻입니다. (4)는 n = 100 일 경우의 샘플평균집합의 분산값입니다. 아래는 그것을 R에서 시뮬레이션하는 스크립트입니다.
 <code>
-set.seed(10)
+# random sampling
-n <- 10
+# n = 10, 100, 1000 등 정할 수 있습니다.
-s1 <- rnorm(n, mean = 100, sd = 10)
+# 아래는 n명의 샘플사이즈로 샘플링을 함을 예로 듭니다.
-mean(s1) # r 펑션으로 평균구하기
+n <- 100
-sd(s1) # r 펑션으로 표준편차구하기
-error <- s1-mean(s1)
+# 모집단의 평균은 70, 표준편차는 15를 가정합니다
-error.sq <- error^2
+pop.mean <- 70
-sum.error.sq <- sum(error.sq) # 이 값이 ss 파트
+pop.sd <- 15
-df <- n-1 # 이 값이 df 값
-var.cal <- sum.error.sq/df # 실제 계산한 분산값
-sd.cal <- sqrt(var.cal) # 실제 계산한 표준편차 값
-sd.cal # 계산한 sd값 출력
-sd.cal == sd(s1) # 같은 값인지 확인
-# n이 아주 크다면 n 이나 n-1이나 차이가 없다
+# n=10의 샘플을 랜덤하게 뽑습니다.
-# 아래는 샘플의 크기가 일억인 경우
+set.seed(1)
-set.seed(10)
+s1 <- rnorm(n, pop.mean, pop.sd)
-n <- 100000000
-s1 <- rnorm(n, mean = 100, sd = 10)
-mean(s1)
-sd(s1) # 이것이 n-1로 구한 r 펑션에서의 sd값
-error <- s1-mean(s1)
+# 평균을 알아봅니다. 이것이 어디에 쓰이지는 않습니다.
-error.sq <- error^2
+mean(s1)
-sum.error.sq <- sum(error.sq) # 분산값 구하기에서 SS 파트
-df <- n-1 # df 파트
-var.cal <- sum.error.sq/df # 계산해서 구한 분산값
-sd.cal <- sqrt(var.cal) # 계산해서 구한 표준편차값
-sd.cal
-sd.cal == sd(s1) # 동일함. 여기까지는 위의 예와 같음
-# tweak 여기에 더하여 만약에 n-1 대신 n으로 나눠주면 어떻게 될까?
-var.cal2 <- sum.error.sq/n
+# iteration = 100, 1000, 10000
-sd.cal2 <- sqrt(var.cal)
+# iter 번을 샘플링합니다
-sd.cal2
+# 그리고 이를 iter 개의 NA로 채워서 means에 저장합니다.
-sd.cal2 == sd(s1)
+iter <- 1000000
+means <- rep (NA, iter)
+# 루프문을 통해서 위의 iter 개의 means[i]에
+# 샘플의 (샘플 숫자 = n) 평균을 구해서 저장합니다
+for(i in 1:iter){
+  means[i] = mean(rnorm(n, pop.mean, pop.sd))
+}
+# 이 iter 개의 샘플평균들의 집합의 평균 (m),
+# 분산 (v1), 표준편차를 (sd1) 구해봅니다.
+m <- mean(means)
+# 아래 값이 평균들 분포의 분산값입니다. 즉, SS/df 로 구한 값입니다.
+v1 <- var(means)
+# 위의 값은 sum((means - m)^2) # 을 (SS 부분) 구한 후
+# iter - 1 값으로 (df 부분) 나눠주어서 구해도 됩니다.
+v1
+sum((means - m)^2) / (iter - 1)
+# 위의 값은 아래 sd(means) 와 같을 겁니다.
+sd1 <- sd(means) # 이 값이 평균분포의 표준편차값입니다.
+m
+v1
+sd1
+# 아래는 평균들분포의 표준편차가 (표준오차)
+# 모집단의 표준편차 제곱 값을 n 으로 (샘플사이즈, 10)
+# 나눈 값입니다.
+se.sq <- (pop.sd^2) / n
+se.sq
+# 위에서 평균들의 집합이 무한대라면 (현재는 천이지만)
+# v1 과 se.sq 값은 같게 됩니다.
+# iter 번 샘플링을 한 경우에도 두 값이 아주 비슷합니다.
 </code>
+아래는 위 스크립트의 아웃풋입니다.
+<code>
+>
+> # random sampling
+> # n = 10, 100, 1000 등 정할 수 있습니다.
+> # 아래는 n명의 샘플사이즈로 샘플링을 함을 예로 듭니다.
+> n <- 100
+>
+> # 모집단의 평균은 70, 표준편차는 15를 가정합니다
+> pop.mean <- 70
+> pop.sd <- 15
+>
+> # n=10의 샘플을 랜덤하게 뽑습니다.
+> set.seed(1)
+> s1 <- rnorm(n, pop.mean, pop.sd)
+>
+> # 평균을 알아봅니다. 이것이 어디에 쓰이지는 않습니다.
+> mean(s1)
+[1] 71.63331
+>
+>
+> # iteration = 100, 1000, 10000
+> # iter 번을 샘플링합니다
+> # 그리고 이를 iter 개의 NA로 채워서 means에 저장합니다.
+> iter <- 1000000
+> means <- rep (NA, iter)
+>
+> # 루프문을 통해서 위의 iter 개의 means[i]에
+> # 샘플의 (샘플 숫자 = n) 평균을 구해서 저장합니다
+> for(i in 1:iter){
++   means[i] = mean(rnorm(n, pop.mean, pop.sd))
++ }
+>
+> # 이 iter 개의 샘플평균들의 집합의 평균 (m),
+> # 분산 (v1), 표준편차를 (sd1) 구해봅니다.
+> m <- mean(means)
+> # 아래 값이 평균들 분포의 분산값입니다. 즉, SS/df 로 구한 값입니다.
+> v1 <- var(means)
+> # 위의 값은 sum((means - m)^2) # 을 (SS 부분) 구한 후
+> # iter - 1 값으로 (df 부분) 나눠주어서 구해도 됩니다.
+> v1
+[1] 2.248648
+> sum((means - m)^2) / (iter - 1)
+[1] 2.248648
+> # 위의 값은 아래 sd(means) 와 같을 겁니다.
+>
+> sd1 <- sd(means) # 이 값이 평균분포의 표준편차값입니다.
+> m
+[1] 70.00091
+> v1
+[1] 2.248648
+> sd1
+[1] 1.499549
+>
+> # 아래는 평균들분포의 표준편차가 (표준오차)
+> # 모집단의 표준편차 제곱 값을 n 으로 (샘플사이즈, 10)
+> # 나눈 값입니다.
+> se.sq <- (pop.sd^2) / n
+> se.sq
+[1] 2.25
+>
+> # 위에서 평균들의 집합이 무한대라면 (현재는 천이지만)
+> # v1 과 se.sq 값은 같게 됩니다.
+> # iter 번 샘플링을 한 경우에도 두 값이 아주 비슷합니다.
+>
+</code>
+샘플평균들을 (n= n개의) 모아놓은 집합에서 (sampling distribution 혹은 distribution of sample means 혹은 distribution of the sample mean) 이 평균은 모집단의 평균이고 표준편차는 sqrt(모집단분산/n) 이라고 하면, 이제 우리는 n = n개의 샘플 하나를 취했을 때 그 샘플의 평균이 어느 범위에서 나오게 될지 추측해 (추론) 볼 수 있습니다. 위에서 se.sq 값은 샘플평균들의 분산값이고 이것이 22.5 이므로 표준편차값은 이를 sqrt 한 값이 됩니다. 이 값을 se값이라고 하고 이를 두 배한 값을 모집단의 평균을 중심으로 빼고 더해 보면 그 범위가 나오는데 이것이 n = n 명의 샘플을 취했을 때 그 샘플의 평균이 존재할 범위가 됩니다. 그리고 이 범위는 se값을 2개 썼으므로 95%의 확신만을 갖습니다 (100%가 아니라). 아래는 그 범위가 90.51317 - 109.4868 임을 보여 줍니다. 만약에 내가 n = n 개의 샘플을 취했는데 그 샘플의 평균이 110점과 같이 위의 범위 밖에서 나타난 다면 이 샘플은 원래 모집단에서 나온 샘플이 아닐 가능성이 아주 높다고 결론을 내릴 수 밖에 없습니다. 바로 이 마지막 예시는 이 샘플이 원래 모집단에서 나온 샘플이 아닌 머리가 좋아지는 약을 복용한 집단에서 나온 샘플이라는 생각을 뒤받침해 주는 결과가 됩니다.
+<code>
+> se <- sqrt(se.sq)
+> se
+[1] 4.743416
+> se*2
+[1] 9.486833
+> se2 <- se*2
+> pop.m - se2
+[1] 90.51317
+> pop.m + se2
+[1] 109.4868
+>
+</code>