Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- b:head_first_statistics:estimating_populations_and_samples [2024/11/06 08:35] – [What about variance] hkimscil
+++ b:head_first_statistics:estimating_populations_and_samples [2025/11/03 09:29] (current) – [What about variance] hkimscil
@@ Line 11: / Line 11: @@
-<WRAP info 70%>
+<WRAP box>
 $\hat\mu$ : See this hat I’m wearing? It means I’m a point estimator. If you don’t have the exact value of the mean, then I'm the next best thing.
@@ Line 88: / Line 88: @@
 p = 32/40 = 0.8
-<WRAP info 60%>
+<WRAP box>
 Mighty Gumball takes another sample of their super-long-lasting gumballs, and finds that in the sample, 10 out of 40 people prefer the pink gumballs to all other colors. What proportion of people prefer pink gumballs in the population? What’s the probability of choosing someone from the population who doesn’t prefer pink gumballs?
 </WRAP>
@@ Line 176: / Line 176: @@
   * random 하게 1000번의 (k=1000) 샘플링을 해서
   * 얻는 Red gumball의 숫자
 <code>
-> set.seed(101)
+# set.seed(101)
+k <- 1000
+n <- 100
+p <- 1/4
+q <- 1-p
+# in order to clarify what we are doing
+# X~B(n,p) 일 때, 100개의 검볼을 샘플링해서
+# red gumball을 세봤더니
+rbinom(1,n,p) # 24개 였다라는 뜻
+# 아래는 이것을 1000번 (k번) 한 것
+numbers.of.red.gumball <- rbinom(k, n, p)
+head(numbers.of.red.gumball)
+# 아래처럼 n으로 (100개의 검볼이 총 숫자이므로)
+# 나눠주면 비율을 구할 수 있다
+proportions.of.rg <- numbers.of.red.gumball/n
+ps.k <- proportions.of.rg
+head(ps.k)
+mean.ps.k <- mean(ps.k)
+mean.ps.k
+hist(ps.k)
+####
+# set.seed(101)
+k <- 1000000
+n <- 100
+p <- 1/4
+q <- 1-p
+numbers.of.red.gumball <- rbinom(k, n, p)
+# 아래처럼 n으로 (100개의 검볼이 총 숫자이므로)
+# 나눠주면 비율을 구할 수 있다
+proportions.of.rg <- numbers.of.red.gumball/n
+ps.k <- proportions.of.rg
+mean.ps.k <- mean(ps.k)
+mean.ps.k
+# variance?
+var.cal <- var(ps.k)
+var.cal
+var.value <- (p*q)/n
+var.value
+# standard deviation
+sd.cal <- sqrt(var.cal)
+sd.cal
+sd.value <- sqrt(var.value)
+sd.value
+se <- sd.value
+# 우리는 standard deviation of sample
+# proportions을 standard error라고 부른다
+# 위의 histogram 에서 mean 값은 이론적으로
+p
+# standard deviation값은
+se
+qnorm(.975)
+# 우리는 평균값에서 +- 2*sd.cal 구간이 95%인줄 안다.
+se2 <- se * qnorm(.975)
+# 즉, 아래 구간이
+lower <- p-se2
+upper <- p+se2
+lower
+upper
+hist(ps.k)
+abline(v=lower, col=2, lwd=2)
+abline(v=upper, col=2, lwd=2)
+a <- pnorm(lower, mean=p, sd=se)
+b <- pnorm(upper, p, se)
+b-a
+lower
+upper
+# 위의 그래프가 의미하는 것은 rbinom(1, n, p) / n로
+# 얻은 하나의 샘플의 proportion의 (비율) 값은
+# 95/100 확률로 lower에서 upper사이에 있을 것이라는
+# 뜻
+rbinom(1, n, p)/n
+rbinom(1, n, p)/n
+k <- 100
+sa1 <- rbinom(k, n, p) / n
+head(sa1)
+sa1 < lower
+sa1 > upper
+table(sa1 < lower)
+table(sa1 > upper)
+table(sa1 < lower | sa1 > upper)
+table(sa1 < lower | sa1 > upper) / k
+</code>
+<code>
+> # set.seed(101)
 > k <- 1000
 > n <- 100
 > p <- 1/4
 > q <- 1-p
-# in order to clarify what we are doing
+> # in order to clarify what we are doing
-# X~B(n,p) 일 때, 100개의 검볼을 샘플링해서
+> # X~B(n,p) 일 때, 100개의 검볼을 샘플링해서
-# red gumball을 세봤더니
+> # red gumball을 세봤더니
 > rbinom(1,n,p) # 24개 였다라는 뜻
-[1] 24
+[1] 22
-# 아래는 이것을 1000번 (k번) 한 것
+>
+> # 아래는 이것을 1000번 (k번) 한 것
 > numbers.of.red.gumball <- rbinom(k, n, p)
-> numbers.of.red.gumball
+> head(numbers.of.red.gumball)
-   [1] 18 27 27 22 23 26 23 26 25 30 27 28 32 24 26 29 22 24 18 27 33 22 27 31 29 19
+[1] 24 23 25 20 27 30
-  [27] 24 24 27 24 23 21 21 25 31 21 29 16 31 24 24 28 23 24 22 19 31 28 20 19 24 27
+>
-  [53] 28 24 28 27 25 27 26 29 29 26 36 29 27 16 23 30 32 22 32 26 29 29 22 18 22 27
+> # 아래처럼 n으로 (100개의 검볼이 총 숫자이므로)
-  [79] 33 27 28 28 34 15 32 23 24 20 16 27 31 27 21 22 29 24 22 19 18 20 17 24 30 27
+> # 나눠주면 비율을 구할 수 있다
- [105] 23 19 17 28 37 20 18 26 30 30 34 30 25 23 26 24 20 19 25 22 29 25 25 27 19 27
+> proportions.of.rg <- numbers.of.red.gumball/n
- [131] 23 22 23 26 25 25 32 25 27 32 22 32 23 30 21 25 27 17 24 21 24 26 33 20 22 26
+> ps.k <- proportions.of.rg
- [157] 28 25 30 33 27 30 26 23 39 23 31 18 26 27 34 25 28 31 35 28 29 32 27 31 28 25
+> head(ps.k)
- [183] 22 23 15 22 20 26 21 22 16 23 22 31 24 27 31 21 24 26 26 22 22 34 19 30 22 28
+[1] 0.24 0.23 0.25 0.20 0.27 0.30
- [209] 25 24 29 25 25 16 27 23 25 32 18 22 25 25 24 24 21 32 20 28 29 22 23 22 25 21
- [235] 27 22 24 29 24 22 30 22 21 17 25 23 21 27 22 22 25 22 29 24 26 32 28 20 22 22
- [261] 27 26 22 24 31 18 27 29 28 17 27 33 23 33 25 32 26 23 19 21 20 23 15 19 23 26
- [287] 27 28 23 24 35 27 30 23 25 24 31 23 20 22 22 26 21 22 26 28 26 23 21 13 29 27
- [313] 21 34 28 24 19 26 27 25 23 27 25 19 29 18 28 21 27 28 28 22 22 20 20 25 27 17
- [339] 16 27 32 23 18 28 31 29 21 27 27 30 21 25 20 25 26 30 26 21 15 29 22 21 16 25
- [365] 25 27 26 27 28 21 27 24 25 24 39 24 28 33 20 26 24 27 20 31 27 27 20 21 31 25
- [391] 22 22 30 34 27 23 21 25 20 24 29 19 30 27 33 22 29 30 22 29 26 24 18 26 36 26
- [417] 23 24 22 32 33 16 24 28 24 25 29 31 28 28 29 26 24 25 28 27 24 31 25 31 33 26
- [443] 26 24 33 28 20 23 22 23 22 30 25 25 23 27 27 23 24 28 24 28 23 22 26 30 26 27
- [469] 21 23 23 27 26 23 25 30 25 24 22 28 18 23 18 16 27 26 18 25 27 22 20 19 27 25
- [495] 31 27 22 21 24 24 26 23 23 29 27 23 25 20 21 21 27 25 22 29 28 21 21 24 27 24
- [521] 28 19 14 32 27 22 24 35 26 28 28 26 25 25 19 26 24 20 19 28 25 25 24 21 30 27
- [547] 30 20 22 26 31 26 20 20 27 25 26 18 30 20 29 16 38 26 22 29 22 30 26 19 27 24
- [573] 29 29 25 19 23 24 24 23 25 31 18 24 33 27 25 27 29 28 24 23 24 28 20 24 30 24
- [599] 21 20 25 24 24 30 22 26 23 25 21 21 24 27 18 20 22 30 25 23 27 26 23 23 28 18
- [625] 29 27 25 32 26 15 22 24 21 34 23 23 18 29 23 27 28 23 37 20 17 25 11 21 28 22
- [651] 28 25 22 25 21 18 20 27 30 24 28 23 30 31 24 23 37 19 27 32 25 27 28 29 22 26
- [677] 26 20 22 25 24 19 27 21 32 27 31 29 24 24 29 29 25 22 34 23 18 33 18 23 24 26
- [703] 18 20 23 30 28 26 34 17 33 30 32 30 22 28 19 19 23 23 20 23 21 31 30 20 24 23
- [729] 23 28 26 34 27 33 31 20 25 12 25 20 20 25 27 24 29 26 22 30 26 28 28 27 23 18
- [755] 28 22 21 27 22 26 21 22 27 24 19 27 29 37 30 27 25 30 19 22 22 28 32 22 33 26
- [781] 20 31 23 24 24 26 24 30 17 21 20 22 20 17 24 22 24 23 23 24 23 16 16 17 23 27
- [807] 29 26 16 21 34 19 25 25 28 32 17 22 26 23 23 24 22 22 14 30 25 33 26 25 31 28
- [833] 30 21 19 17 19 21 16 21 26 21 29 27 31 32 19 22 24 25 25 24 23 30 21 22 19 20
- [859] 21 20 21 28 19 26 28 26 29 28 26 21 31 32 31 22 23 25 27 26 22 27 30 24 25 23
- [885] 27 25 24 24 30 29 26 32 29 23 24 20 26 26 22 22 19 23 33 18 27 26 28 18 26 24
- [911] 24 26 27 17 26 23 27 25 32 20 22 23 25 25 24 28 20 19 22 20 22 24 17 19 22 17
- [937] 19 27 27 28 29 18 24 30 26 34 26 24 25 24 29 28 29 23 24 21 24 23 23 29 19 29
- [963] 30 33 25 30 32 23 30 27 17 20 21 24 36 21 26 30 26 25 22 21 38 21 24 21 25 21
- [989] 32 20 29 24 19 21 32 26 27 18 21 20
 >
 </code>
@@ Line 237: / Line 309: @@
 > proportions.of.rg <- numbers.of.red.gumball/n
 > ps.k <- proportions.of.rg
-> ps.k
+> head(ps.k)
-   [1] 0.18 0.27 0.27 0.22 0.23 0.26 0.23 0.26 0.25 0.30 0.27 0.28 0.32 0.24 0.26
+[1] 0.24 0.23 0.25 0.20 0.27 0.30
-  [16] 0.29 0.22 0.24 0.18 0.27 0.33 0.22 0.27 0.31 0.29 0.19 0.24 0.24 0.27 0.24
+>
-  [31] 0.23 0.21 0.21 0.25 0.31 0.21 0.29 0.16 0.31 0.24 0.24 0.28 0.23 0.24 0.22
-  [46] 0.19 0.31 0.28 0.20 0.19 0.24 0.27 0.28 0.24 0.28 0.27 0.25 0.27 0.26 0.29
-  [61] 0.29 0.26 0.36 0.29 0.27 0.16 0.23 0.30 0.32 0.22 0.32 0.26 0.29 0.29 0.22
-  [76] 0.18 0.22 0.27 0.33 0.27 0.28 0.28 0.34 0.15 0.32 0.23 0.24 0.20 0.16 0.27
-  [91] 0.31 0.27 0.21 0.22 0.29 0.24 0.22 0.19 0.18 0.20 0.17 0.24 0.30 0.27 0.23
- [106] 0.19 0.17 0.28 0.37 0.20 0.18 0.26 0.30 0.30 0.34 0.30 0.25 0.23 0.26 0.24
- [121] 0.20 0.19 0.25 0.22 0.29 0.25 0.25 0.27 0.19 0.27 0.23 0.22 0.23 0.26 0.25
- [136] 0.25 0.32 0.25 0.27 0.32 0.22 0.32 0.23 0.30 0.21 0.25 0.27 0.17 0.24 0.21
- [151] 0.24 0.26 0.33 0.20 0.22 0.26 0.28 0.25 0.30 0.33 0.27 0.30 0.26 0.23 0.39
- [166] 0.23 0.31 0.18 0.26 0.27 0.34 0.25 0.28 0.31 0.35 0.28 0.29 0.32 0.27 0.31
- [181] 0.28 0.25 0.22 0.23 0.15 0.22 0.20 0.26 0.21 0.22 0.16 0.23 0.22 0.31 0.24
- [196] 0.27 0.31 0.21 0.24 0.26 0.26 0.22 0.22 0.34 0.19 0.30 0.22 0.28 0.25 0.24
- [211] 0.29 0.25 0.25 0.16 0.27 0.23 0.25 0.32 0.18 0.22 0.25 0.25 0.24 0.24 0.21
- [226] 0.32 0.20 0.28 0.29 0.22 0.23 0.22 0.25 0.21 0.27 0.22 0.24 0.29 0.24 0.22
- [241] 0.30 0.22 0.21 0.17 0.25 0.23 0.21 0.27 0.22 0.22 0.25 0.22 0.29 0.24 0.26
- [256] 0.32 0.28 0.20 0.22 0.22 0.27 0.26 0.22 0.24 0.31 0.18 0.27 0.29 0.28 0.17
- [271] 0.27 0.33 0.23 0.33 0.25 0.32 0.26 0.23 0.19 0.21 0.20 0.23 0.15 0.19 0.23
- [286] 0.26 0.27 0.28 0.23 0.24 0.35 0.27 0.30 0.23 0.25 0.24 0.31 0.23 0.20 0.22
- [301] 0.22 0.26 0.21 0.22 0.26 0.28 0.26 0.23 0.21 0.13 0.29 0.27 0.21 0.34 0.28
- [316] 0.24 0.19 0.26 0.27 0.25 0.23 0.27 0.25 0.19 0.29 0.18 0.28 0.21 0.27 0.28
- [331] 0.28 0.22 0.22 0.20 0.20 0.25 0.27 0.17 0.16 0.27 0.32 0.23 0.18 0.28 0.31
- [346] 0.29 0.21 0.27 0.27 0.30 0.21 0.25 0.20 0.25 0.26 0.30 0.26 0.21 0.15 0.29
- [361] 0.22 0.21 0.16 0.25 0.25 0.27 0.26 0.27 0.28 0.21 0.27 0.24 0.25 0.24 0.39
- [376] 0.24 0.28 0.33 0.20 0.26 0.24 0.27 0.20 0.31 0.27 0.27 0.20 0.21 0.31 0.25
- [391] 0.22 0.22 0.30 0.34 0.27 0.23 0.21 0.25 0.20 0.24 0.29 0.19 0.30 0.27 0.33
- [406] 0.22 0.29 0.30 0.22 0.29 0.26 0.24 0.18 0.26 0.36 0.26 0.23 0.24 0.22 0.32
- [421] 0.33 0.16 0.24 0.28 0.24 0.25 0.29 0.31 0.28 0.28 0.29 0.26 0.24 0.25 0.28
- [436] 0.27 0.24 0.31 0.25 0.31 0.33 0.26 0.26 0.24 0.33 0.28 0.20 0.23 0.22 0.23
- [451] 0.22 0.30 0.25 0.25 0.23 0.27 0.27 0.23 0.24 0.28 0.24 0.28 0.23 0.22 0.26
- [466] 0.30 0.26 0.27 0.21 0.23 0.23 0.27 0.26 0.23 0.25 0.30 0.25 0.24 0.22 0.28
- [481] 0.18 0.23 0.18 0.16 0.27 0.26 0.18 0.25 0.27 0.22 0.20 0.19 0.27 0.25 0.31
- [496] 0.27 0.22 0.21 0.24 0.24 0.26 0.23 0.23 0.29 0.27 0.23 0.25 0.20 0.21 0.21
- [511] 0.27 0.25 0.22 0.29 0.28 0.21 0.21 0.24 0.27 0.24 0.28 0.19 0.14 0.32 0.27
- [526] 0.22 0.24 0.35 0.26 0.28 0.28 0.26 0.25 0.25 0.19 0.26 0.24 0.20 0.19 0.28
- [541] 0.25 0.25 0.24 0.21 0.30 0.27 0.30 0.20 0.22 0.26 0.31 0.26 0.20 0.20 0.27
- [556] 0.25 0.26 0.18 0.30 0.20 0.29 0.16 0.38 0.26 0.22 0.29 0.22 0.30 0.26 0.19
- [571] 0.27 0.24 0.29 0.29 0.25 0.19 0.23 0.24 0.24 0.23 0.25 0.31 0.18 0.24 0.33
- [586] 0.27 0.25 0.27 0.29 0.28 0.24 0.23 0.24 0.28 0.20 0.24 0.30 0.24 0.21 0.20
- [601] 0.25 0.24 0.24 0.30 0.22 0.26 0.23 0.25 0.21 0.21 0.24 0.27 0.18 0.20 0.22
- [616] 0.30 0.25 0.23 0.27 0.26 0.23 0.23 0.28 0.18 0.29 0.27 0.25 0.32 0.26 0.15
- [631] 0.22 0.24 0.21 0.34 0.23 0.23 0.18 0.29 0.23 0.27 0.28 0.23 0.37 0.20 0.17
- [646] 0.25 0.11 0.21 0.28 0.22 0.28 0.25 0.22 0.25 0.21 0.18 0.20 0.27 0.30 0.24
- [661] 0.28 0.23 0.30 0.31 0.24 0.23 0.37 0.19 0.27 0.32 0.25 0.27 0.28 0.29 0.22
- [676] 0.26 0.26 0.20 0.22 0.25 0.24 0.19 0.27 0.21 0.32 0.27 0.31 0.29 0.24 0.24
- [691] 0.29 0.29 0.25 0.22 0.34 0.23 0.18 0.33 0.18 0.23 0.24 0.26 0.18 0.20 0.23
- [706] 0.30 0.28 0.26 0.34 0.17 0.33 0.30 0.32 0.30 0.22 0.28 0.19 0.19 0.23 0.23
- [721] 0.20 0.23 0.21 0.31 0.30 0.20 0.24 0.23 0.23 0.28 0.26 0.34 0.27 0.33 0.31
- [736] 0.20 0.25 0.12 0.25 0.20 0.20 0.25 0.27 0.24 0.29 0.26 0.22 0.30 0.26 0.28
- [751] 0.28 0.27 0.23 0.18 0.28 0.22 0.21 0.27 0.22 0.26 0.21 0.22 0.27 0.24 0.19
- [766] 0.27 0.29 0.37 0.30 0.27 0.25 0.30 0.19 0.22 0.22 0.28 0.32 0.22 0.33 0.26
- [781] 0.20 0.31 0.23 0.24 0.24 0.26 0.24 0.30 0.17 0.21 0.20 0.22 0.20 0.17 0.24
- [796] 0.22 0.24 0.23 0.23 0.24 0.23 0.16 0.16 0.17 0.23 0.27 0.29 0.26 0.16 0.21
- [811] 0.34 0.19 0.25 0.25 0.28 0.32 0.17 0.22 0.26 0.23 0.23 0.24 0.22 0.22 0.14
- [826] 0.30 0.25 0.33 0.26 0.25 0.31 0.28 0.30 0.21 0.19 0.17 0.19 0.21 0.16 0.21
- [841] 0.26 0.21 0.29 0.27 0.31 0.32 0.19 0.22 0.24 0.25 0.25 0.24 0.23 0.30 0.21
- [856] 0.22 0.19 0.20 0.21 0.20 0.21 0.28 0.19 0.26 0.28 0.26 0.29 0.28 0.26 0.21
- [871] 0.31 0.32 0.31 0.22 0.23 0.25 0.27 0.26 0.22 0.27 0.30 0.24 0.25 0.23 0.27
- [886] 0.25 0.24 0.24 0.30 0.29 0.26 0.32 0.29 0.23 0.24 0.20 0.26 0.26 0.22 0.22
- [901] 0.19 0.23 0.33 0.18 0.27 0.26 0.28 0.18 0.26 0.24 0.24 0.26 0.27 0.17 0.26
- [916] 0.23 0.27 0.25 0.32 0.20 0.22 0.23 0.25 0.25 0.24 0.28 0.20 0.19 0.22 0.20
- [931] 0.22 0.24 0.17 0.19 0.22 0.17 0.19 0.27 0.27 0.28 0.29 0.18 0.24 0.30 0.26
- [946] 0.34 0.26 0.24 0.25 0.24 0.29 0.28 0.29 0.23 0.24 0.21 0.24 0.23 0.23 0.29
- [961] 0.19 0.29 0.30 0.33 0.25 0.30 0.32 0.23 0.30 0.27 0.17 0.20 0.21 0.24 0.36
- [976] 0.21 0.26 0.30 0.26 0.25 0.22 0.21 0.38 0.21 0.24 0.21 0.25 0.21 0.32 0.20
- [991] 0.29 0.24 0.19 0.21 0.32 0.26 0.27 0.18 0.21 0.20
->
 </code>
 위의 비율의 기댓값을 (평균을) 구한다는 것이 교재가 하는 이야기
 <code>
+>
 > mean.ps.k <- mean(ps.k)
 > mean.ps.k
-[1] 0.24893
+[1] 0.25128
 >
 </code>
 위의 결과를 histogram으로 그려보면
 <code>
-hist(ps.k)
+> hist(ps.k)
+>
 </code>
 이는 평균이 0.25에 (p값에) 근접하는 값이 된다. 교재의 p값이 되는 것은 k가 무한대로 큰 값을 가질 때의 이야기.
-아래는 k를 1000번이 아닌 1000000번 (백만번일 때의 이야기). 평균비율이 0.25가 된다.
+아래는 k를 1000번이 아닌 1000000번 (백만번일 때의 이야기). 평균비율이 좀 더 0.25에 근접하게 된다.
 <code>
 > set.seed(101)
@@ Line 329: / Line 338: @@
 > # 아래처럼 n으로 (100개의 검볼이 총 숫자이므로)
 > # 나눠주면 비율을 구할 수 있다
-> proportions.of.rg <- numbers.of.red.gumball/n
+> proportions.of.rg <- numbers.of.red.gumball / n
 > ps.k <- proportions.of.rg
 > mean.ps.k <- mean(ps.k)
@@ Line 336: / Line 345: @@
 >
 </code>
 {{:b:head_first_statistics:pasted:20241106-081710.png}}
@@ Line 371: / Line 381: @@
 > # variance?
 > var.cal <- var(ps.k)
-> var.value <- (p*q)/n
 > var.cal
-[1] 0.001869001
+[1] 0.001869
+> var.value <- (p*q)/n
 > var.value
 [1] 0.001875
@@ Line 379: / Line 389: @@
 > # standard deviation
 > sd.cal <- sqrt(var.cal)
-> sd.value <- sqrt(var.value)
 > sd.cal
-[1] 0.04323195
+[1] 0.04323193
+> sd.value <- sqrt(var.value)
 > sd.value
 [1] 0.04330127
+>
 > se <- sd.value
 > # 우리는 standard deviation of sample
-> # proportions 를 standard error라고
+> # proportions을 standard error라고 부른다
-> # 부른다
 >
 </code>
@@ Line 393: / Line 403: @@
 <code>
-> sd.value
+> # 위의 histogram 에서 mean 값은 이론적으로
+> p
+[1] 0.25
+> # standard deviation값은
+> se
 [1] 0.04330127
-> se <- sd.value
+>
-> se2 <- se*2
+> qnorm(.975)
-> se2
+[1] 1.959964
-[1] 0.08660254
+> # 우리는 평균값에서 +- 2*sd.cal 구간이 95%인줄 안다.
-> p-se2
+> se2 <- se * qnorm(.975)
-[1] 0.1633975
+> # 즉, 아래 구간이
-> p+se2
+> lower <- p-se2
-[1] 0.3366025
+> upper <- p+se2
+> lower
+[1] 0.1651311
+> upper
+[1] 0.3348689
+>
+> hist(ps.k)
+> abline(v=lower, col=2, lwd=2)
+> abline(v=upper, col=2, lwd=2)
 >
 </code>
+즉 아래의 그래프에서
+{{:b:head_first_statistics:pasted:20241106-084520.png}}
+lower: 0.1633975와 (16.33975%) upper: 0.3366025 사이에서 (33.66025%) red gumaball의 비율이 나올 확률이 95%라는 이야기.
+위의 사실을 확인해 보는 작업으로 R에서 아래 스크립트를 돌려보면
+  * lower 밑으로 나오는 proportion과 \
+  * upper 위로 나오는 proportion을 합한 갯수가 약 5%가 됨을 볼 수 있다.
+<code>
+> a <- pnorm(lower, mean=p, sd=se)
+> b <- pnorm(upper, p, se)
+> b-a
+[1] 0.95
+> lower
+[1] 0.1651311
+> upper
+[1] 0.3348689
+>
+> # 위의 그래프가 의미하는 것은 rbinom(1, n, p) / n로
+> # 얻은 하나의 샘플의 proportion의 (비율) 값은
+> # 95/100 확률로 lower에서 upper사이에 있을 것이라는
+> # 뜻
+> rbinom(1, n, p)/n
+[1] 0.29
+> rbinom(1, n, p)/n
+[1] 0.24
+>
+> k <- 100
+> sa1 <- rbinom(k, n, p) / n
+> head(sa1)
+[1] 0.29 0.29 0.23 0.23 0.27 0.29
+> sa1 < lower
+  [1] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+  [8] FALSE FALSE FALSE  TRUE FALSE FALSE FALSE
+ [15] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE  TRUE FALSE
+ [22] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE  TRUE
+ [29] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [36] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [43] FALSE FALSE  TRUE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [50] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [57] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [64] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [71] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [78] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [85] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [92] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [99] FALSE FALSE
+> sa1 > upper
+  [1] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+  [8] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [15] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [22] FALSE  TRUE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [29] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [36] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [43] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [50] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [57] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [64] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [71] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [78] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [85] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [92] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [99] FALSE FALSE
+> table(sa1 < lower)
+FALSE  TRUE
+     4
+> table(sa1 > upper)
+FALSE  TRUE
+     1
+>
+> table(sa1 < lower | sa1 > upper)
+FALSE  TRUE
+     5
+> table(sa1 < lower | sa1 > upper) / k
+FALSE  TRUE
+.95  0.05
+>
+</code>
+그렇다면 만약에 30% 이상이 red gumball일 확률은 무엇이라는 질문이라면
+우리는 X ~ B(100, 1/4)에서 도출되는
+X ~ N(p, se^2) 에서 P(X>_0.3)을 구하는 질문이므로
+-pnorm(0.295, p, se) 가 답이 되겠다.
+<code>
+> # 0.3이 포함되는 구간을 continuity correction해야 하므로
+> 1/(2*100)
+[1] 0.005
+> t <- 1/(2*100)
+> 0.3 - t
+[1] 0.295
+>
+> 1-pnorm(0.295, p, se)
+[1] 0.1493488
+>
+</code>
 ===== Exercise =====
-<WRAP info 60%>
+<WRAP box>
 % of the gumball population are red. What’s the probability that in a box of 100 gumballs, at least 40% will be red? We’ll guide you through the steps.
@@ Line 472: / Line 599: @@
 ====== Sampling distribution of sample mean ======
-<WRAP info 60%>
+<WRAP box>
 According to Mighty Gumball’s statistics for the population, the mean number of gumballs in each packet is 10, and the variance is 1. The trouble is they’ve had a complaint. One of their most faithful customers bought 30 packets of gumballs, and he found that the average number of gumballs per packet in his sample is only 8.5.
 </WRAP>
@@ Line 542: / Line 669: @@
 {{:b:head_first_statistics:pasted:20191126-093924.png}}
+see [[:r/sampling_distribution]]
 \begin{eqnarray*}
@@ Line 568: / Line 697: @@
 ===== Exercise =====
-<WRAP info 60%>
+<WRAP box>
 Let’s apply this to Mighty Gumball’s problem.
@@ Line 605: / Line 734: @@
 </code>
+====== Recap ======
+Distribution of **Sample** <fc #ff0000>**P**</fc>roportion<fc #ff0000>**s**</fc>, <fc #ff0000>$Ps$</fc>,
+when sampling n entities (repeatedly) from a population whose proportion is p.
+\begin{eqnarray*}
+Ps & \sim & N(p,  \frac{pq}{n}) \\
+\text{hence, } \\
+\text{standard deviation of} \\
+\text{sample proportions} & = & \sqrt{\frac{pq}{n}}
+\end{eqnarray*}
+Distribution of **Sample** <fc #ff0000>Means, $\overline{X}$</fc>
+when sampling a sample whose size is n from a population whose mean is $\mu$ and variance is $\sigma^2$.
+\begin{eqnarray*}
+\overline{X} & \sim & N(\mu,  \frac{\sigma^2}{n}) \\
+\text{hence, } \\
+\text{standard deviation of} \\
+\text{sample means} & = &  \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \\
+& = &  \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
+\end{eqnarray*}