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b:head_first_statistics:correlation_and_regression

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Table of Contents

Correlation and Regression: What's My Line?


> s <- c(1.9,2.5,3.2,3.8,4.7,5.5, 5.9, 7.2)
> c <- c(22,33,30,42,38,49,42,55)
> plot(s,c)
> df <- data.frame(s,c)
> df
    s  c
1 1.9 22
2 2.5 33
3 3.2 30
4 3.8 42
5 4.7 38
6 5.5 49
7 5.9 42
8 7.2 55
> plot(df)


Predict values with a line of best fit

\begin{align} b = & \frac{\Sigma{(x-\overline{x})(y-\overline{y})}}{\Sigma{(x-\overline{x})^2}} \nonumber \\ = & \frac{SP}{SS_{x}} \\ a = & \overline{y} - b \; \overline{x} \;\;\; \because \; \overline{y} = a + b \; \overline{x} \end{align} 

> # lm = linear modeling (lm function)
> #    = regression 
> #    = correlation
> mod <- lm(c~s, data=df)
> summary(mod)

Call:
lm(formula = c ~ s, data = df)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-5.2131 -3.0740 -0.9777  3.9237  5.9933 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   
(Intercept)  15.7283     4.4372   3.545  0.01215 * 
s             5.3364     0.9527   5.601  0.00138 **
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 4.571 on 6 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.8395,	Adjusted R-squared:  0.8127 
F-statistic: 31.37 on 1 and 6 DF,  p-value: 0.001379

Correlation

Textbook says:

\begin{align} r = & b * \frac {sd(x)}{sd(y)} \\ = & b * \sqrt{\frac {SS_X} {SS_Y}} \;\;\; \because \left(b = \frac {SP}{SS_X} \right) \nonumber \\ = & \frac {SP}{SS_X} * \frac {\sqrt{SS_X}} {\sqrt{SS_Y}} \nonumber \\ = & \frac {SP}{\sqrt{SS_X * SS_Y}} \nonumber \\ = & \frac {COV}{SD(X) SD(Y)} \end{align}

Regression page says:
\begin{eqnarray} R^2 & = & \frac{\text{SS}_{reg}}{\text{SS}_{total}} \\ & = & \frac{ \text{SS}_{total} - \text{SS}_{res}} {\text{SS}_{total}} \nonumber \\ & = & 1 - \frac{\text{SS}_{res}} {\text{SS}_{total}} \\ \end{eqnarray}

\begin{eqnarray*} & \text{Note that (1), (2) are the same.} \nonumber \\ & \text{Therefore,} \nonumber \\ & r = \sqrt{R^2} \\ \end{eqnarray*}

We, from correlation wiki page, also addressed that r (correlation coefficient value) can be obtained through
\begin{eqnarray*} r & = & \frac {Cov(x,y)} {sd(x)*sd(y)} \\ \end{eqnarray*}
see pearson_s_r

아래는 위의 세 가지 방법으로 R에서 r 값을 구해본 것이다. 

# check the coefficient from the lm analysis
b <- summary(mod)$coefficients[2,1]
b
df
sd.x <- sd(df$s)
sd.y <- sd(df$c)

# 첫 번째
r.value1 <- b * (sd.x/sd.y)
r.value1

# 두 번째
# rsquared 
r.value2 <- sqrt(summary(mod)$r.squared)
r.value2

# or 
cov.sc <- cov(df$s, df$c)
r.value3 <- cov.sc/(sd.x*sd.y)

r.value3

아래는 위의 아웃풋 

> # check the coefficient from the lm analysis
> b <- summary(mod)$coefficients[2,1]
> b
[1] 5.336411
> df
    s  c
1 1.9 22
2 2.5 33
3 3.2 30
4 3.8 42
5 4.7 38
6 5.5 49
7 5.9 42
8 7.2 55
> sd.x <- sd(df$s)
> sd.y <- sd(df$c)
> 
> # 첫 번째
> r.value1 <- b * (sd.x/sd.y)
> r.value1
[1] 0.9162191
> 
> # 두 번째
> # rsquared 
> r.value2 <- sqrt(summary(mod)$r.squared)
> r.value2
[1] 0.9162191
> 
> # or 
> cov.sc <- cov(df$s, df$c)
> r.value3 <- cov.sc/(sd.x*sd.y)
> 
> r.value3
[1] 0.9162191
>

exercise

# correlation 에 대한 이해를 돕기 위한 연습
# stat first 책에서 radiation exposure 양과 
# (독립변인) weight 간의 관계 (종속변인)
#
# 두 변인 (독립변인과 종속변인) 모두 
# 숫자로 측정된 변인
re <- c(4, 4.5, 5, 5.5, 6, 6.5, 7)
we <- c(12, 10, 8, 9.5, 8, 9, 6)

# 손으로 variance, standard deviation 구하기
# 우선 각각의 평균
mean.re <- mean(re)
mean.we <- mean(we)
mean.re
mean.we

# sum of square x (ssx) 와 ssy 구하기
ss.re <- sum((re-mean.re)^2)
ss.we <- sum((we-mean.we)^2)
ss.re
ss.we

# df 값은 
df <- length(we)-1
df
# variance와 sd
var.re.1 <- ss.re/df
var.we.1 <- ss.we/df
sd.re.1 <- sqrt(var.re.1)
sd.we.1 <- sqrt(var.we.1)
# R의 펑션을 이용해서 구하기
var.re <- var(re)
var.we <- var(we)
sd.re <- sd(re)
sd.we <- sd(we)

var.re.1
var.we.1
var.re
var.we
sd.re.1
sd.we.1
sd.re
sd.we


# sum of product
sp <- sum((re-mean.re)*(we-mean.we))
cov.rewe.1 <- sp/df
cov.rewe <- cov(re,we)
sp
cov.rewe.1
cov.rewe


# 교재에 기술된 
# r, b, r square 
# r = cov(x,y)/(sd(x)*sd(y))
#   = sp / sqrt(ss(x)*ss(y))
r.val <- sp / (sqrt(ss.re*ss.we))
r.val2 <- cor(re,we)
r.val
r.val2

# 기울기 b = sp / ss(x)
b <- sp / ss.re
b
a <- mean.we - (b * mean.re)
a
# r 제곱값 (r^2)
r.sq <- r.val^2
r.sq

# 위의 모든 정보가 lm function의 결과에 
m1 <- lm(we~re)
summary(m1)

## summary(m1)에서 se가 나타나는 부분 설명
# se of regression = sqrt of mse
# p = # of parameters (IVs) 
# 
p <- 1  
n <- length(we)
n
df.res <- n-p-1
# or 
m1$df.residual

# residual 값들을 제곱해서 모두 더한 후
# n으로 (df.residual값으로) 나누준 것
# = 분산을 구하는 형식이다. 즉 아래는 
# regression line으로 예측하고 남은 
# 나머지 오차들에 (residuals) 대한 분산값
# 이것을 mean square error라고 부른다
# variance를 mean square라고 부르는 사람들이
# 있다. 
# ss of square residuals = ssres
ssres <- sum(m1$residuals^2)
# ssres = sum of square error 값으로 부르기도
# 한다. 
sse <- ssres
mse <- sse/df.res
mse

# 그리고 그 값에 sqrt값을 씌워 sd값을 
# stanard deviation 구한다. 이것을 
# root mean square error라고 부른다. 
rmse <- sqrt(mse)
rmse

# summary(m1)에서 Residual standard error: 1.177 
# 에 해당하는 값
summary(m1)

# b coefficient 에 대한 standard error 값은 
# sqrt( (1/(n-2)) * (sse/ssx))
se.b <- sqrt( (1/(n-2)) * (sse/ss.re) )
se.b 
# 아래 아웃풋에서 Std. Error 참조
summary(m1)

c <- qt(.975, 5)
se.b2 <- c*se.b
b - se.b2
b + se.b2
confint(m1)
> # correlation 에 대한 이해를 돕기 위한 연습
> # stat first 책에서 radiation exposure 양과 
> # (독립변인) weight 간의 관계 (종속변인)
> #
> # 두 변인 (독립변인과 종속변인) 모두 
> # 숫자로 측정된 변인
> re <- c(4, 4.5, 5, 5.5, 6, 6.5, 7)
> we <- c(12, 10, 8, 9.5, 8, 9, 6)
> 
> # 손으로 variance, standard deviation 구하기
> # 우선 각각의 평균
> mean.re <- mean(re)
> mean.we <- mean(we)
> mean.re
[1] 5.5
> mean.we
[1] 8.928571
> 
> # sum of square x (ssx) 와 ssy 구하기
> ss.re <- sum((re-mean.re)^2)
> ss.we <- sum((we-mean.we)^2)
> ss.re
[1] 7
> ss.we
[1] 21.21429
> 
> # df 값은 
> df <- length(we)-1
> df
[1] 6
> # variance와 sd
> var.re.1 <- ss.re/df
> var.we.1 <- ss.we/df
> sd.re.1 <- sqrt(var.re.1)
> sd.we.1 <- sqrt(var.we.1)
> # R의 펑션을 이용해서 구하기
> var.re <- var(re)
> var.we <- var(we)
> sd.re <- sd(re)
> sd.we <- sd(we)
> 
> var.re.1
[1] 1.166667
> var.we.1
[1] 3.535714
> var.re
[1] 1.166667
> var.we
[1] 3.535714
> sd.re.1
[1] 1.080123
> sd.we.1
[1] 1.88035
> sd.re
[1] 1.080123
> sd.we
[1] 1.88035
> 
> 
> # sum of product
> sp <- sum((re-mean.re)*(we-mean.we))
> cov.rewe.1 <- sp/df
> cov.rewe <- cov(re,we)
> sp
[1] -10
> cov.rewe.1
[1] -1.666667
> cov.rewe
[1] -1.666667
> 
> 
> # 교재에 기술된 
> # r, b, r square 
> # r = cov(x,y)/(sd(x)*sd(y))
> #   = sp / sqrt(ss(x)*ss(y))
> r.val <- sp / (sqrt(ss.re*ss.we))
> r.val2 <- cor(re,we)
> r.val
[1] -0.8206099
> r.val2
[1] -0.8206099
> 
> # 기울기 b = sp / ss(x)
> b <- sp / ss.re
> b
[1] -1.428571
> a <- mean.we - (b * mean.re)
> a
[1] 16.78571
> # r 제곱값 (r^2)
> r.sq <- r.val^2
> r.sq
[1] 0.6734007
> 
> # 위의 모든 정보가 lm function의 결과에 
> m1 <- lm(we~re)
> summary(m1)

Call:
lm(formula = we ~ re)

Residuals:
      1       2       3       4       5       6       7 
 0.9286 -0.3571 -1.6429  0.5714 -0.2143  1.5000 -0.7857 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   
(Intercept)  16.7857     2.4872   6.749  0.00108 **
re           -1.4286     0.4449  -3.211  0.02371 * 
---
Signif. codes:  
0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 1.177 on 5 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.6734,	Adjusted R-squared:  0.6081 
F-statistic: 10.31 on 1 and 5 DF,  p-value: 0.02371

> 
> ## summary(m1)에서 se가 나타나는 부분 설명
> # se of regression = sqrt of mse
> # p = # of parameters (IVs) 
> # 
> p <- 1  
> n <- length(we)
> n
[1] 7
> df.res <- n-p-1
> # or 
> m1$df.residual
[1] 5
> 
> # residual 값들을 제곱해서 모두 더한 후
> # n으로 (df.residual값으로) 나누준 것
> # = 분산을 구하는 형식이다. 즉 아래는 
> # regression line으로 예측하고 남은 
> # 나머지 오차들에 (residuals) 대한 분산값
> # 이것을 mean square error라고 부른다
> # variance를 mean square라고 부르는 사람들이
> # 있다. 
> # ss of square residuals = ssres
> ssres <- sum(m1$residuals^2)
> # ssres = sum of square error 값으로 부르기도
> # 한다. 
> sse <- ssres
> mse <- sse/df.res
> mse
[1] 1.385714
> 
> # 그리고 그 값에 sqrt값을 씌워 sd값을 
> # stanard deviation 구한다. 이것을 
> # root mean square error라고 부른다. 
> rmse <- sqrt(mse)
> rmse
[1] 1.177164
> 
> # summary(m1)에서 Residual standard error: 1.177 
> # 에 해당하는 값
> summary(m1)

Call:
lm(formula = we ~ re)

Residuals:
      1       2       3       4       5       6       7 
 0.9286 -0.3571 -1.6429  0.5714 -0.2143  1.5000 -0.7857 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   
(Intercept)  16.7857     2.4872   6.749  0.00108 **
re           -1.4286     0.4449  -3.211  0.02371 * 
---
Signif. codes:  
0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 1.177 on 5 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.6734,	Adjusted R-squared:  0.6081 
F-statistic: 10.31 on 1 and 5 DF,  p-value: 0.02371

> 
> # b coefficient 에 대한 standard error 값은 
> # sqrt( (1/(n-2)) * (sse/ssx))
> se.b <- sqrt( (1/(n-2)) * (sse/ss.re) )
> se.b 
[1] 0.444926
> # 아래 아웃풋에서 Std. Error 참조
> summary(m1)

Call:
lm(formula = we ~ re)

Residuals:
      1       2       3       4       5       6       7 
 0.9286 -0.3571 -1.6429  0.5714 -0.2143  1.5000 -0.7857 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   
(Intercept)  16.7857     2.4872   6.749  0.00108 **
re           -1.4286     0.4449  -3.211  0.02371 * 
---
Signif. codes:  
0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 1.177 on 5 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.6734,	Adjusted R-squared:  0.6081 
F-statistic: 10.31 on 1 and 5 DF,  p-value: 0.02371

> 
> c <- qt(.975, 5)
> se.b2 <- c*se.b
> b - se.b2
[1] -2.57229
> b + se.b2
[1] -0.2848526
> confint(m1)
               2.5 %     97.5 %
(Intercept) 10.39213 23.1792968
re          -2.57229 -0.2848526
> 
########################
ss <- c(1.9, 2.5, 3.2, 3.8, 4.7, 5.5, 5.9, 7.2)
at <- c(22, 33, 30, 42, 38, 49, 42, 55)
mean.ss <- mean(ss)
mean.at <- mean(at)
ss.ss <- sum((ss-mean.sa)^2)
ss.at <- sum((at-mean.at)^2)
df <- 8-1
var.ss <- ss.ss/df
var.at <- ss.at/df
sd.ss <- sqrt(var.ss)
sd.at <- sqrt(var.at)
sp.ssat <- sum((ss-mean.ss)*(at-mean.at))
cov.ssat <- sp.ssat/df
b/head_first_statistics/correlation_and_regression.1702439475.txt.gz · Last modified: 2023/12/13 12:51 by hkimscil
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