개인과제: 크래커 실험 F-test

Experiment Result Table below :

Factor B: Fullness
Factor A: Weight		Empty	Full
	Normal	n=20 $\overline{X}=22$ T=440 SS=1540	n=20 $\overline{X}$ =15 T=300 SS=1270	$T_\text{obese}=740$
	Obese	n=20 $\overline{X}$ = 17 T=340 SS=1320	n=20 $\overline{X}$ = 18 T=360 SS=1266	$T_\text{normal} = 700$
		$T_\text{empty} =780$	$T_\text{full} = 660$		G=1440 N=80 $\Sigma{X^2}=31836$

Step 1. Hypothesis :

 Weight에 따라 Crackers 섭취량에 차이가 있을 것이다.
 Fullness에 따라 Crackers 섭취량에 차이가 있을 것이다.
 Weight와 Fullness의 상호작용에 따라 Crackers 섭취량에 차이가 있을 것이다.

Step 2. Locate the critical range for F-ratio. Calculate $dfs$

$df_\text{total}=N-1=80-1=79$ (k = The number of groups)
$df_\text{within}=k-1=4-1=3$
$df_\text{between} = N-k = 80-4 = 76$
$df_\text{A} = (The number of levels of A)-1 = 2-1=1$
$df_\text{B} = (The number of levels of B)-1 = 2-1=1$
$df_\text{AxB} = df_\text{between}-(df_\text{A}+df_\text{B})=3-(1+1)=1$

$SS_\text{total} = \frac{31836-1440^2}{80} = 5916$
$SS_\text{within} = 1540+1270+1320+1266=5396$
$SS_\text{between} = \frac{(440^2+300^2+340^2+360^2)}{20}-\frac{1440^2}{80}=520$
$SS_\text{A} = \frac{((440+300)^2+(340+360)^2)}{40} - \frac{1440^2}{80} = 20$
$SS_\text{B} = \frac{(780^2+660^2)}{40}-\frac{1440^2}{80} = 180$
$SS_\text{AxB} = SS_\text{between}-(SS_\text{A}+SS_\text{B}) = 520-(20+180)=320$

$MS_\text{A} = \frac{SS_\text{A}}{df_\text{A}}=\frac{20}{1}=20$
$MS_\text{B} = \frac{SS_\text{B}}{df_\text{B}}=\frac{180}{1}=180$
$MS_\text{AxB} = \frac{SS_\text{A*B}}{df_\text{A*B}}=\frac{320}{1}=320$
$MS_\text{within} = \frac{SS_\text{within}}{df_\text{within}}=\frac{5396}{76}=71$

Computed F-ratio

$F_\text{A}=\frac{MS_\text{A}}{MS_\text{within}}=\frac{20}{71}=0.28169$
$F_\text{B}=\frac{MS_\text{B}}{MS_\text{within}}=\frac{180}{71}=2.53521$
$F_\text{AxB}=\frac{MS_\text{A*B}}{MS_\text{within}}=\frac{20}{71}=4.50704$

Table 1. Mean number of crackers eaten in each treatment condition
		Fullness
		Empty stomach	Full stomach
Weight	Normal	M=22 SD=9.00	M=15 SD=8.18
Weight	Obese	M=17 SD=8.34	M=18 SD=8.16

Result
Source	SS	df	MS	F
Between Treatment	520	3
- Factor A (weight)	20	1	20	0.28169
- Factor B (fullness)	180	1	180	2.53521
- A x B interaction	320	1	320	4.50704
Within treatment	5396	76	71
Total	5916	79
weigth x fullness factorial design

Step 3. Statistical Decision
Result 표를 사용해 구한 $F_\text{A}(1,76)=0.28169$, $F_\text{B}(1,76)=2.53521$, $F_\text{A*B}(1,76)=4.50704$ 값은 F calculated value로, 이 값들이 시사하는 바는 다음과 같다. $F_\text{A*B}$은 numerator > denominator라는 점이다.
즉 F 값이 크다고 볼 수 있는데, F 값이 크다는 것은 통계학적으로 유의미하다고 볼 수 있고, F 값을 구하는 논리는 연구자가 발견한 차이의 비율이 특정 값을 초과할 경우 Group 간의 차이를 용인하는 것이라 할 수 있다. 결론적으로, 그룹 간의 Differences 가 있다고 판단할 수 있을 것이다. 이러한 생각의 타당성 검증을 위해 F distribution table을 통해 F critical value를 찾아보면, Degrees of freedom in denominator = 76인 값이 table에 없으니 분모를 60에 맞춰 계산. (1/76~1/60)
$F_\text{critical value}(1, 60, p<.05) = 4.00 $
Table을 참조하여 찾은 결과, $F_\text{critical value}$를 넘는 값은 $F_\text{A*B}$로, $F_\text{critical value}$보다 작은 $F_\text{A}, F_\text{B}$는 null hypothesis를 부정할 수 없고, $F_\text{A*B}$는 null hypothesis를 부정한다.

Step 4. Result Explanation
$F_\text{A}, F_\text{B}$ 값의 경우
$F_\text{critical value}$ 값보다 작기 때문에 상관관계가 없다고 판단할 수 있다. 그러나
$F_\text{A*B}$의 값은
$F_\text{critical value}$의 값보다 크다. 따라서 두 Factor가 동시에 발생되어야 통계가 유의미하다는 것을 보여줄 수 있다. 이 말은 즉슨 Factor A와 Factor B는 하나의 Independent Variable로 작용 시 Cracker 섭취량과 상관관계가 성립한다고 보기 어렵지만, 함께 작용 (Interact)할 경우 상관관계가 성립할 수 있다고 볼 수 있다.