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--- mean_and_variance_of_the_sample_mean [2025/03/23 23:37] – [Mean of the sample mean] hkimscil
+++ mean_and_variance_of_the_sample_mean [2026/04/07 22:30] (current) – hkimscil
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 </WRAP>
 ====== Mean of the sample mean ======
-평균이 (mean) $\mu$ 이고, 분산이 (variance) $\sigma^{2}$ 인 모집단에서 (population) 독립적으로 추출되어 관찰되는 $X_{1}, X_{2}, . . . , X_{n}$ 이 있다고 하자. 이 샘플링은 아래와 같이 도식화되어 생각될 수 있다.
+평균이 (mean) $\mu$ 이고, 분산이 (variance) $\sigma^{2}$ 인 모집단에서 (population) 독립적으로 추출되어 관찰되는 $X_{1}, X_{2}, . . . , X_{n}$ 원소의 (여기서 $X_1$ 은 샘플이 아닌 개체이다 (원소)) 집합이 있다고 하자. 이 집합을 (n 개의 원소로 이루어진) 샘플이라고 한다. 이 샘플링을 무한히 반복하는 작업을 아래와 같이 도식화하여 나타낼 수 있다.
 \begin{eqnarray*}
-X_{1}, X_{2}, X_{3}, . . . , X_{n} \\
+X_{1}, X_{2}, X_{3}, . . . , X_{n} & & \qquad (1) \\
-X_{1}, X_{2}, X_{3}, . . . , X_{n} \\
+X_{1}, X_{2}, X_{3}, . . . , X_{n} & & \qquad (2) \\
-X_{1}, X_{2}, X_{3}, . . . , X_{n} \\
+X_{1}, X_{2}, X_{3}, . . . , X_{n} & & \qquad (3) \\
-. . . . \\
+. . . . \qquad \qquad \qquad       & & \qquad . . . . \\
-X_{1}, X_{2}, X_{3}, . . . , X_{n} \\
+X_{1}, X_{2}, X_{3}, . . . , X_{n} & & \qquad (inf) \\
 \end{eqnarray*}
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 \end{eqnarray*}
-한편, $\overline{X}$ 는 (<fc #ff0000>**주의. 샘플 평균들의 평균은**</fc>)
+한편, 각 샘플에서의 $\overline{X}$ (평균) 값은
 \begin{align*}
-\overline{X} & = \dfrac {X_{1} + X_{2} + . . . + X_{n}} {n} \\
+\overline{X} & = \dfrac {X_{1} + X_{2} + . . . + X_{i}} {n} \\
 \end{align*}
-이고
+이라고 표현할 수 있다. 이에 대한 기대값은 (샘플평균들의 기대값 = 샘플평균들의 평균) 아래처럼 표현 된다.
 \begin{align*}
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 \end{align*}
+이렇게 샘플 평균들의 기대값은 (샘플 평균들의 평균은) 원래 모집단의 기대값이 된다.
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 \end{align*}
+위는 샘플 평균들의 집합에서 나타나는 분산값은 원래 모집단의 (population의) 분산값을 샘플의 크기, n으로 나누어 준 값을 갖는다는 것을 보여준다.